Concursul "Al. Myller" problema 1

[Bogdan Cebere]

Fie \( O \) centrul cercului circumscris triunghiului \( ABC \) şi \( A_1 \) punctul de pe cerc diametral opus lui \( A \). Notăm cu \( G,G_1 \) centrele de greutate al triunghiurilor \( ABC \) şi \( A_{1}BC \) şi cu \( P \) intersecţia dreptelor \( AG_1 \) şi \( OG \) . Să se arate că \( {\frac{PG}{PO}}={\frac{2}{3}} \).

Gabriel Popa, Paul Georgescu

[Tudor Micu]

Fie M mijlocul lui BC
Avem \( \displaystyle\frac{MG}{MA}=\frac{MG_{1}}{MA_{1}}=\frac{GG_{1}}{AA_{1}}=\frac{1}{3} \) rezulta \( GG_{1}||AA_{1} \), de unde \( \triangle GG_{1}P\sim\triangle OAP \) rezulta \( \displaystyle\frac{GG_{1}}{AO}=\frac{PG}{PO}=\frac{2}{3} \)