O inegalitate mai usoara

[Marius Dragoi]

Fie \( n \in N,\ n \geq 3 \) si \( x_1,\ x_2,\ ...\ ,\ x_n \in R \). Sa se arate ca:
\( {\frac {3(n-1)(n-2)}{2}}{\sum_{k=1}^{n} {{x_k}^2}\ \geq\ \sum_{1 \leq k < i < j \leq n}^{} {({x_k+x_i+x_j})^2} \).

[Beniamin Bogosel]

Sa evaluam cite patrate si cite produse de cite 2 sunt in membrul drept:

-patrate: pentru fiecare \( k \) exista \( \begin{pmatrix}{n-1 \\ 2 }\end{pmatrix} \) patrate, pentru ca pt fiecare \( k \) se pot alege in atitea moduri alte 2 numere din cele \( n-1 \) ramase.
-produse de cite 2: Pentru fiecare doua numere, al treilea se poate alege in \( n-2 \) moduri din cele ramase, si mai avem si un 2 din formula trinomului la patrat.

Deci inegalitatea devine:
\( 3\frac{(n-1)(n-2)}{2}\sum_{k=1}^nx_k^2\geq \frac{(n-1)(n-2)}{2}\sum_{k=1}^nx_k^2+2(n-2)\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j\Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow (n-1)\sum_{k=1}^nx_k^2\geq 2\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j \Leftrightarrow n\sum_{k=1}^nx_k^2\geq (\sum_{k=1}^nx_k)^2 \), care este inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski pt numerele date.

Bineinteles, egalitatea are loc atunci cind numerele sunt egale.