Numere complexe cu acelasi modul

[Marius Dragoi]

Fie \( a,b,c \in C \) cu \( |a|=|b|=|c|=1 \). Se noteaza \( S_m={|a+b|}^m+{|b+c|}^m+{|c+a|}^m \).
Daca exista \( p \in N* \) astfel incat \( S_{2^p} \leq 3 \), atunci pentru orice \( n \in N \) avem \( S_n=3 \).

Marcel Chirita, Bucuresti

[turcas]

Demonstrăm inegalitatea ajutătoare :
Pentru \( x , y , z > 0 \) :
\( x^{2^m}+y^{2^m}+z^{2^m} \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^{2^{m-1}}}{3^{2^{m-1}-1}} \) . Demonstrația acestei inegalități se face inductiv .

Dacă ne folosim de această inegalitate , obținem ușor că :

\( S_{2^m} \geq \frac{S_2^{2^{m-1}}}{3^{2^{m-1}-1}} \) .
De asemenea este cunoscuta identitatea :

\( |a+b|^2 + |b+c|^2 + |c+a|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |a+b+c|^2 = 3+|a+b+c|^2 \geq 3 \) (1) .
Am obținut acum că : \( S_{2^m} \geq 3 \forall m \in \mathbb{N}^{*} \) , egalitatea obținandu-se doar pentru \( a+b+c = 0 \) .

Dacă exista \( p \in \mathbb{N}^{*} \) pentru care are loc inegalitatea din enunt rezulta că \( S_{2^p}=3 \Rightarrow a+b+c=0 \) .
Deci \( S_n = |a+b|^n + |b+c|^n + |c+a|^n = |a|^n + |b|^n + |c|^n = 3 \) .