Un numar natural cu mai multi divizori

[Natalee]

Numarul natural \( N = 2^x \cdot 3^y\cdot5^z \) are exact \( 120 \) de divizori naturali, iar \( x \); \( y \) si \( z \), in aceasta ordine, sunt numere naturale consecutive, diferite de \( 0 \) si de \( 1 \).

Calculati: \( x^y \ + \ y^z \).

Natalee

[Marius Dragoi]

\( M=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n} \) \( \Rightarrow \) numarul de divizori ai acestuia este : \( (a_1+1)(a_2+1)...(a_n+1) \), unde\( p_1,...,p_n \) sunt numere prime, iar \( a_1,...,a_n \in N \)

[Virgil Nicula]

Faust, sper sa nu te superi daca iti modific neesential mesajul pentru a fi mai clar, desi sunt convins ca Nataska a inteles ... din prima. Fie numarul natural \( M \) si descompunerea acestuia in factori primi \( M=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n} \), unde pentru orice \( k\in\overline {1,n} \), numerele naturale \( p_k\ge 2 \) sunt prime si \( a_k\in \mathbb{N}^* \). Toti divizorii naturali ai lui \( M \) sunt de forma \( d(x_1,x_2,\ldots ,x_n)=p_1^{x_1}p_2^{x_2}...p_n^{x_n} \) , unde pentru orice \( k\in\overline {1,n} \) avem \( x_k\in\overline {0,a_k} \) si cardinalul (numarul de elemente) multimii \( \overline {0,a_k} \) este \( 1+a_k \). Deci numarul divizorilor lui \( M \) este produsul \( \delta (M)=\prod_{k=1}^n(1+a_k) \).

Exemplu. \( M=24=2^3\cdot 3^1 \) \( \Rightarrow \) \( \delta (M)=(1+3)(1+1)=8 \) , adica \( \{\ 1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ 4\ ,\ 6\ ,\ 8\ ,\ 12\ ,\ 24\ \} \).

[marius00]

120=5!
5!=1*2*3*4*5=4*5*6
x+1=4, x=3
y+1=5, y=4
z+1=6, z=5

[Natalee]

Exercitiile, de tipul acestuia, le folosesc la clasa pentru dezvoltarea spiritului de observatie. Elevul mic, reproduce, foarte greu observa anumite conditii ale problemelor de care ar trebui sa tina cont pe parcursul rezolvarii unui anume exercitiu.

Formula:\( (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 120 \)

\( 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6; \ 6\neq120. \ Discutie ...
\\2\cdot3\cdot4 = 24; \ 24\neq120. \ Discutie ...
\\3\cdot4\cdot5=60; \ 60\neq120. \ Discutie ...
\\4\cdot5\cdot6=120; \ 120 = 120 (A) \)

Avem:

\( x + 1 = 4 = > x = 4 - 1 = > x = 3
\\y + 1 = 5 = > y = 5 - 1 = > y = 4
\\z + 1 = 6 = > z = 6 - 1 = > z = 5 \)

\( x^y+y^z = 3^4 + 4^5 = 81 + 1024 = 1105.
\)
Natalee