C*-algebre comutative

[Liviu Paunescu]

Exista o posibilitate de a descrie cativa operatori in \( B(H) \) astfel incat C*-algebra generata de ei sa fie izomorfa cu algebra functiilor continue pe o sfera? Sau, in general, cu o varietate data?

[Dragos Fratila]

Adica spectrul Gelfand al subalgebrei sa fie izomorf cu o sfera, nu?

[Liviu Paunescu]

Da! O C*-algebra comutativa unitara e *-izomorfa izometric cu algebra functiilor continue pe spectrul ei Gelfand, adica multimea caracterelor.

Si ca sa nu fie cel mai scurt post ever, o sa zic ca fiecare caracter e determinat complet de valoarea lui pe generatori. Cum o sfera se poate scufunda in \( \mathbb{R}^3 \) ar trebui sa fie suficienti trei operatori autoadjuncti, binenteles care sa comute intre ei. Asta daca problema are o solutie.

[Liviu Paunescu]

Ok, eu o sa ma multumesc cu constructia GNS, care va reprezenta algebra \( C(S^2) \) pe \( L^2(S^2) \). Eu vroiam ceva pe \( l^2(\mathbb{N}) \) dar nu stiu. O sa ramanem cu ce spune teoria.

Deci fie \( v \) o masura pozitiva pe \( S^2 \) (masura Lebegue, de exemplu) si functionala linara pe \( C(S^2) \) data de aceasta (\( f\to\int fdv \)). Constructia GNS asociata acestei forme pozitive este:

\( \pi:C(S^2)\to B(L^2(S^2,v));\ \ \pi(f)g=fg. \) unde \( f\in C(S^2) \) si \( g\in L^2(S^2,v) \).

Fie acum functiile \( p_k\in C(S^2)\ p_k(x_1,x_2,x_3)=x_k \). Aceste trei functii separa punctele in \( S^2 \) deci impreuna cu functia constant \( 1 \) genereaza \( C(S^2) \)(Stone-Weierstrass).

Atunci in \( B(L^2(S^2)) \) avem operatorii \( g\to p_kg \) care impreuna cu identitatea genereaza o algebra izomorfa cu \( C(S^2) \).