Fie \( m,n \in \mathbb{N} \backslash \{0,1\} \) si \( A \) un inel finit cu \( 0 \neq 1 \), cu proprietatea ca \( x^{m}=x^{n} \Rightarrow x \in \{0,1\} \). Sa se arate ca \( A \) este corp.
M. Andronache, I.Savu OJM 2000
Inel finit...
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
-
bogdanl_yex
- Pitagora
- Posts: 91
- Joined: Thu Jan 31, 2008 9:58 pm
- Location: Bucuresti
Inel finit...
"Don't worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater"(Albert Einstein)
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Folosim PROPOZITIA:
,, Intr-un inel finit A avem relatia \( A^{\ast}=U(A)\cup D(A) \) unde U(A) este multimea elementelor inversabile iar D(A) este multimea divizorilor lui zero ''
In cazul nostru daca, prin absurd, ar exista un divizor al lui zero, a, atunci:
1) Daca a este nilpotent, fie \( p\ge 2 \) cel mai mic exponent astfel incat \( a^p=0 \).
Avem \( b^m=b^n=0 \) unde \( b=a^{p-1}\in A\setminus \{0,1\} \) ceea ce este o contradictie.
2) Daca a nu este nilpotent atunci exista \( p,q \in\mathbb{N}^{\ast} , p>2q \) astfel incat \( a^p=a^q \) deoarece \( \{a^k|k\in \mathbb{N}^{\ast}\} \) este finita (demonstrati).
Atunci pentru \( b=a^{p-q}\in A\setminus\{0,1\} \), \( b^2=b \), deci \( b^m=b^n \), contradictie.
Asadar A nu are divizori ai lui zero deci este corp.
,, Intr-un inel finit A avem relatia \( A^{\ast}=U(A)\cup D(A) \) unde U(A) este multimea elementelor inversabile iar D(A) este multimea divizorilor lui zero ''
In cazul nostru daca, prin absurd, ar exista un divizor al lui zero, a, atunci:
1) Daca a este nilpotent, fie \( p\ge 2 \) cel mai mic exponent astfel incat \( a^p=0 \).
Avem \( b^m=b^n=0 \) unde \( b=a^{p-1}\in A\setminus \{0,1\} \) ceea ce este o contradictie.
2) Daca a nu este nilpotent atunci exista \( p,q \in\mathbb{N}^{\ast} , p>2q \) astfel incat \( a^p=a^q \) deoarece \( \{a^k|k\in \mathbb{N}^{\ast}\} \) este finita (demonstrati).
Atunci pentru \( b=a^{p-q}\in A\setminus\{0,1\} \), \( b^2=b \), deci \( b^m=b^n \), contradictie.
Asadar A nu are divizori ai lui zero deci este corp.