Corpuri finite si polinoame vecine

[liv]

Fie \( K \) un corp finit. Spunem ca doua polinoame \( f \) si \( g \) din \( K[X] \) sunt vecine daca au acelasi grad dar difera prin exact un coeficient.

a) Sa se arate ca toti vecinii polinomului \( X^2+1\in \mathbb{Z}_3[X] \) sunt reductibili in \( \mathbb{Z}_3[X] \).
b) Daca numarul elementelor lui \( K \) este \( q\geq 4 \) sa se arate ca orice polinom de grad \( q-1 \) din \( K[X] \) are atat un vecin reductibil in \( K[X] \) cat si un vecin care nu are nici o radacina in \( K \)

Marian Andronache, Olimpiada Judeteana, 2008