Numarul de solutii ale unei ecuatii in numere naturale

[haralambie]

Sa se afle numarul de solutii naturale \( (x, y, z, t) \) ale ecuatiei
\( 9x+9y+9z+t=2000 \).

[Filip Chindea]

Sa se afle numarul de solutii naturale \( (x, y, z, t) \) ale ecuatiei
\( 9x+9y+9z+t=2000 \)

Rezulta \( t \equiv 2 \pmod{9} \) iar din \( t = 9t_1 + 2 \), \( t_1 \in \mathbb{N} \), se reduce la \( x + y + z + t_1 = 222 \), cu \( {225 \choose 3} \) solutii (reprezentati de exemplu punctele \( x + 1, x + y + 2, ... \) pe o axa).

PS Se demonstreaza prin identificare de coeficienti ca numarul de solutii \( (x_1, ..., x_m) \in \mathbb{N}^m \) al ecuatiei \( a_1x_1 + \cdots + a_mx_m = n \) este \( \frac{1}{n!}f^{(n)}(0) \), unde \( f = \frac{1}{(1 - x^{a_1})\cdots (1-x^{a_m})} \), iar \( a_1, ..., a_m, n \in \mathbb{N} \) (i.e., \( f \) este functia generatoare a numarului de solutii dupa \( n \)).