Concursul "Teodor Topan" - problema 3

[maky]

Pe laturile \( AB \) si \( BC \) se construiesc in interiorul, respectiv in exteriorul patratului \( ABCD \),
triunghiurile echilaterale \( ABE \) si \( BCF \). sa se demonstreze ca punctele \( D,E,F \) sunt coliniare.
Tifrea Ioan, Zalau

[Filip Chindea]

Voi oferi o solutie calculatorie facila.
Presupunem în continuare ca \( ABCD \) paralelogram si aratam \( D, E, F \) coliniare \( \Leftrightarrow ABCD \) romb.
Punem ca afixe intr-un plan complex oarecare continand punctele respective literele lower-case corespunzatoare lui \( A, B, C, ... \). Astfel \( d = a - b + c \), iar pentru (Edit: offf, automatismele astea, am vrut sa scriu \( 2\pi/6 \), sa simplific si ati vazut ce a iesit!) \( \epsilon = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \), \( \epsilon \overline{\epsilon} = 1 \):
\( \left\{ \begin{array}{c} e = a + (b-a)\epsilon \\ f = c + (b- c)\epsilon\end{array} \right| \Rightarrow \frac{e - d}{f - d} = \frac{(b - c) + (b - a)\epsilon}{(b - a) + (b - c)\epsilon} \).
Astfel \( D \in EF \Leftrightarrow \frac{e - d}{f - d} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow ((b - c) + (b - a)\epsilon)((\overline{b} - \overline{a}) + (\overline{b} - \overline{c})\overline{\epsilon})) \in \mathbb{R} \).
Dar tinand cont de \( (b - c)(\overline{b} - \overline{a}) + (b - a)(\overline{b} - \overline{c})\epsilon \overline{\epsilon} \in \mathbb{R} \), lantul de echivalente se continua cu
\( |b - a|^2 \epsilon + |b - c|^2 \overline{\epsilon} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow |b - a| = |b - c| \Leftrightarrow ABCD \) romb.

Obs. Definind \( E, F \) drept transformatele prin rotatiile de centre \( A, C \) respectiv si unghi \( \alpha \ \notin \ \{ k\pi \ : \ k \in \mathbb{Z} \} \) ale punctului \( B \) concluzia este aceeasi. De fapt, aceasta formulare trimite clar înspre varianta de rezolvare propusa.

[mihai++]

Sau poti sa observi ca \( \hat{FDA}=\hat {EDA}=15^{\circ} \)

[Virgil Nicula]

Voi oferi o solutie calculatorie facila.
Presupunem în continuare ca \( ABCD \) paralelogram si aratam \( D, E, F \) coliniare \( \Leftrightarrow ABCD \) romb.
Punem ca afixe intr-un plan complex oarecare continand punctele respective literele lower-case corespunzatoare lui \( A, B, C, ... \). Astfel \( d = a - b + c \), iar pentru \( \epsilon = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \) ...

Philandrew, frmoasa demonstratie! Insa ai o "scapare" neesentiala, anume \( \epsilon = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \) si nu \( \epsilon = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \). Tu nu ai folosit in demonstratie decat \( \epsilon\cdot\overline {\epsilon}=1 \). Deci ai demonstrat de fapt mai general. Consider ca aceasta frumoasa generalizare iti apartine.

Pe laturile \( AB \) si \( BC \) se construiesc in interiorul respectiv in exteriorul paralelogramului \( ABCD \) triunghiurile isoscele \( ABE \) si \( BCF \), unde \( AB=AE \), \( CB=CF \) si \( \widehat {BAE}\equiv\widehat {BCF} \). Sa se demonstreze ca punctele \( D,E,F \) sunt coliniare daca si numai daca \( ABCD \) este romb.

Trebuia ca problema extinsa sa o postezi la clasa a X-a si apoi sa faci trimitere la aceasta ca un caz particular.
Uiti mereu unde te afli. Aici este clasa a VII-a.

[Natalee]

Sa incercam altfel, , la nivel de clasa a VII-a:

Triunghiul ABE are varful E in interiorul patratului ABCD. Triunghiul BCF este exterior patratului.

Unim E cu D si E cu F.

Avem de aratat ca D-E-F.

Daca aratam ca masura unghiului DEF este de 180, atunci ED se afla in prelungirea lui EF, ...

1) Triunghiul ADE isoscel cu m(<DAE) = 30 = > m(<AED) = 75
2) Triunghiul ABE echilateral = > m(<AEB) = 60
3) Triunghiul BEF dreptunghic isoscel cu m(<EBF) = 90 = > m(<BEF) = 45

Din 1), 2) si 3) = > 75 + 60 + 45 = 180 si deci unghiul DEF este unghi cu laturile in prelungire = > D-E-F.

Naty