Ecuatie functionala din care rezulta functia nula

[cosmin]

Sa se arate ca daca o functie \( f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) verifica \( f(ab)=af(b)+f(a) \), \( \forall a,b\in\mathbb{R}, \) si \( f(0)=0, \) atunci \( f=0 \).

[mihai++]

\( f(ab)=f(ba)\Rightarrow \frac{f(a)}{a-1}=\frac{f(b)}{b-1}=c \) pt orice \( a,b\neq 1 \). Deci \( f(x)=c(x-1) \) pentru orice \( x\neq 1 \) si observam ca si \( f(1) \) respecta. Cum \( f(0)=0 \), rezulta \( c=0 \), deci f este functia nula.