Sa se calculeze suma \( S=1+2x+3x^2+.....+nx^{n-1} \) si apoi sa sa arate ca
\( 1+2(1+\frac{1}{n})+3(1+\frac{1}{n})^2+.......+n(1+\frac{1}{n})^{n-1}=n^2. \)
Sa se calculeze suma
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
Trebuie doar sa observi ca
\( S=(1+x+x^2+...+x^{n-1})+x(1+x+x^2+...+x^{n-2})+....+x^{n-2}(x-1)+x^{n-1}= \)
\( \frac{x^n-1+x^n-x+x^n-x^2+...+x^n-x^{n-1}}{x-1}=\frac{nx^n-\frac{x^n-1}{x-1}}{x-1} \) .
Putem scrie sub forma aceasta cand \( x\neq 1 \). Pentru \( x=1, S=\frac{n(n+1)}{2} \).
Inlocuind \( x \)cu \( 1+\frac{1}{n} \) concluzia e evidenta.
\( S=(1+x+x^2+...+x^{n-1})+x(1+x+x^2+...+x^{n-2})+....+x^{n-2}(x-1)+x^{n-1}= \)
\( \frac{x^n-1+x^n-x+x^n-x^2+...+x^n-x^{n-1}}{x-1}=\frac{nx^n-\frac{x^n-1}{x-1}}{x-1} \) .
Putem scrie sub forma aceasta cand \( x\neq 1 \). Pentru \( x=1, S=\frac{n(n+1)}{2} \).
Inlocuind \( x \)cu \( 1+\frac{1}{n} \) concluzia e evidenta.