Inegalitate straightforward - valori absolute

[Filip Chindea]

Fie \( n \in \mathbb{N}^{\ast} \) si \( f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) date de

\( f(x) = \sum_{k=1}^n |x + k| + \sum_{k=1}^n |x - k| \), \( g(x) = f(x) + |2x - 1| \),

pentru orice \( x \in \mathbb{R} \).

a) Aratati ca \( f(x) \ge n(n + 1) \), oricare ar fi \( x \) real.

b) Gasiti \( \min_{x \in \mathbb{R}} g(x) \).

[mihai++]

\( f(x)\geq \sum |x+k+k-x|=n(n+1) \)
\( g(x)=|x+n|+|x-n| +|1-2x|+\sum_{k=1}^{n-1} (|x+k|+|x-k|)\geq \) \( 1+ n(n-1)=n(n-1)+1 \)

[Filip Chindea]

(...) \( g(x) \) (...) \( \ge n(n-1)+1 \)

Principial, solutia unei probleme de minim (maxim) presupune doua aspecte:
\( \ast \) Explicitarea valorii variabilei pentru care se atinge extremul pe care îl propunem.
\( \ast \) Demonstratia faptului ca pentru orice argument din domeniu, functia respectiva atinge cel putin (cel mult) acel extrem.

Primul punct, desi deseori lipsit de dificultati, ignorat conduce la argumente incomplete (vezi quote), daca vreti, similar unei rationari prin inductie fara verificarea pasului initial.

PS. Eu înteleg ca este recomanda utilizarea \( \LaTeX \), dar, fiind un forum dedicat vorbitorilor de limba româna, nu deranjeaza doua cuvinte pe lânga formulele respective. Daca îmi amintesc bine acesta era si scopul acestui site: comentarii pe teme matematice (nicidecum limitate la solutii - "sa nu ne simtim ca la olimpiada, totusi !", parafrazând dupa un alt user).

[mihai++]

unde am gresit ca nu prind ideea

[Filip Chindea]

unde am gresit ca nu prind ideea

Cred ca este necesar sa fiu mai direct: Indicati-mi, va rog, o valoare a lui \( x \) pentru care \( g(x) = n(n-1) + 1 \). In caz ca nu întelegeti de ce este necesar acest lucru, întoarceti-va la reply-ul meu de mai sus.

[mihai++]

Da. Valoarea aia nu se atinge caci ar da \( n<\frac{1}{2} \). Cred ca pt \( x=\frac{1}{2} \) se atinge minimul cu \( g(x)=f(x)=n(n+1) \), caci \( f(x)=n(n+1) \) implica \( x\in[-1,1] \).

[Filip Chindea]

Solutie. Punctul a) este evident. Pentru b), observam \( g(x) \ge f(x) \ge n(n + 1) \), iar pentru \( x = \frac{1}{2} \) avem egalitate în ambele relatii, deci minimul cautat se atinge si este chiar \( n(n + 1) \).