Ecuatie cu modul si parametru
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
Ecuatie cu modul si parametru
Fie ecuatia \( a^x = | x+ 2| - |2x+8| \) cu \( a > 0 \). Pentru ce valori ale lui \( a \) ecuatia admite o singura solutie?
Solutie
Daca atasam functia \( f(x) = \left| x+2 \right| - \left| 2x +8 \right| \), observam ca \( \max f = 2 = f(-4) \) .
1) Pentru \( a > 1 \Rightarrow a^{-4}= \frac{1}{a^4} < 1 \), deci ecuatia admite 2 solutii, una din \( (-\infty ; -4) \text{ si cealalta din } (-4;-2) \).
2) Pentru \( a \in (0;1) \) avem ca \( a^{-4} > 1 \). Impunem ca \( a^{-4} = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \). Solutia unica este \( x = -4 \).
Daca atasam functia \( f(x) = \left| x+2 \right| - \left| 2x +8 \right| \), observam ca \( \max f = 2 = f(-4) \) .
1) Pentru \( a > 1 \Rightarrow a^{-4}= \frac{1}{a^4} < 1 \), deci ecuatia admite 2 solutii, una din \( (-\infty ; -4) \text{ si cealalta din } (-4;-2) \).
2) Pentru \( a \in (0;1) \) avem ca \( a^{-4} > 1 \). Impunem ca \( a^{-4} = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \). Solutia unica este \( x = -4 \).