Fie \( f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}^{2} \) o functie continua intr-o vecinatate a punctului \( (t_{0}, x_{0})\in\mathbb{R}^{2} \). Atunci exista \( \alpha>0 \) si o solutie \( \varphi(.) \) pentru problema Cauchy
\( \frac{dx}{dt}=f(t,x), x(t_{0})=x_{0} \),
pe intervalul \( [t_{0}-\alpha; t_{0}+\alpha] \).
Pe scurt: Fiind data o functie continua definita ca mai sus, care satisface problema Cauchy
\( \frac{dx}{dt}=f(t,x), x(t_{0})=x_{0} \),
atunci \( f(.,.) \) admite proprietatea de existenta locala.
Teorema de existenta locala a lui Peano
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Teorema de existenta locala a lui Peano
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Demonstratie.
Cum functia \( f \) este continua intr-o vecinatate a punctului \( (t_{0}, x_{0}) \) rezulta ca exista \( a, b>0 \) astfel incat daca \( (t,x)\in\mathbb{R}^{2} \) cu \( |t-t_{0}| \leq a \) si \( |x-x_{0}| \leq b \) sa avem \( f \) continua in \( (t,x) \).
Acum, vom considera dreptunghiul \( \mathcal{R}=\{ (t,x)\in\mathbb{R}^{2}, |t-t_{0}| \leq a, |x-x_{0}|\leq b \} \).
Alegem \( M>1 \) astfel incat \( M>\frac{b}{a} \) si \( |f(t, x)| \leq M \) pentru orice \( (t,x)\in\mathcal{R} \). Punem \( \alpha=\frac{b}{M} \). Sa observam ca \( \alpha \) depinde de o anumita topologie. Alegem \( a, b \) foarte mici astfle incat sa "aranjam" dreptunghiul \( \mathcal{R} \) pe discul unitate. Stim ca multiumea valorilor \( |f(t,x)| \) pentru \( (t,x)\in\mathcal{R} \) este marginita, deci \( M \) exista pentru ca \( \mathcal{R} \) este inchisa si marginita, deci compacta, de unde avem ca imaginea fucntiei continue \( |f| \) este o multime compacta, deci marginita.
Consideram \( C \) multimea functiilor continue pe intervalul \( [t_{0}+\alpha, t_{0}+\alpha] \). Este foarte usor de aratat ca \( C \) mosteneste structura de spatiu vectorial (linear) (! se verifica cele doua axioame: pentru \( u,v\in C \) si \( \lambda\in\mathbb{R} \) avem ca \( (u+v)(x)=u(x)+v(x) \) si ca \( u(\alpha x)=\alpha u(x) \))
Definim \( A \) o submultime a lui \( C \) in maniera urmatoare:
o functie \( u\in C \) apartine multimii \( A \) daca satisface proprietatile:
i) \( |u(t)-x_{0}|\leq b, \forall t\in [t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha] \)
ii) \( |u(t_{1})-u(t_{2})|\leq M |t_{1}-t_{2}|, \forall t_{1}, t_{2}\in [t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha] \).
Multimea \( A \) este o submultime convexa a lui \( C \) (! pentru \( u,v\in A \) si \( t\in [0,1] \) avem \( tu+(1-t)v\in A \)). Pe multimea \( C \) introducem si norma \( ||u||=\max\{|u(t)|, t\in [t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha] \} \), de unde avem ca \( C \) este spatiu linear normat.
Multimea \( A \) este inchisa in \( C \) in raport cu topologia normei. Folosind teorema Arzela-Ascoli, rezulta ca \( A \) este compacta.
Acum, construim operatorul continuu \( T:C\to C \) definit astfel:
\( Tu(t)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t} f(s, u(s))ds \)
unde \( u\in C \).
Este cunoscut faptul ca daca \( \varphi(.):[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha] \) este solutie a problemei Cauchy, atunci ea verifica ecuatia integrala asociata, anume, \( \varphi(t)-\varphi(t_{0})=\int_{t_{0}}^{t}f(s, \varphi(s))ds \).
Astfel, problema noastra s-a "echivalat" cu existenta unui punct fix (adica \( T\varphi=\varphi \)) pentru operatorul \( T \). Conditiile i) si ii) ne asigura si conditia \( T(A)\subset A \).
Din teorema de punct fix a lui Schauder concluzia se impune. \( \qed \)
Cum functia \( f \) este continua intr-o vecinatate a punctului \( (t_{0}, x_{0}) \) rezulta ca exista \( a, b>0 \) astfel incat daca \( (t,x)\in\mathbb{R}^{2} \) cu \( |t-t_{0}| \leq a \) si \( |x-x_{0}| \leq b \) sa avem \( f \) continua in \( (t,x) \).
Acum, vom considera dreptunghiul \( \mathcal{R}=\{ (t,x)\in\mathbb{R}^{2}, |t-t_{0}| \leq a, |x-x_{0}|\leq b \} \).
Alegem \( M>1 \) astfel incat \( M>\frac{b}{a} \) si \( |f(t, x)| \leq M \) pentru orice \( (t,x)\in\mathcal{R} \). Punem \( \alpha=\frac{b}{M} \). Sa observam ca \( \alpha \) depinde de o anumita topologie. Alegem \( a, b \) foarte mici astfle incat sa "aranjam" dreptunghiul \( \mathcal{R} \) pe discul unitate. Stim ca multiumea valorilor \( |f(t,x)| \) pentru \( (t,x)\in\mathcal{R} \) este marginita, deci \( M \) exista pentru ca \( \mathcal{R} \) este inchisa si marginita, deci compacta, de unde avem ca imaginea fucntiei continue \( |f| \) este o multime compacta, deci marginita.
Consideram \( C \) multimea functiilor continue pe intervalul \( [t_{0}+\alpha, t_{0}+\alpha] \). Este foarte usor de aratat ca \( C \) mosteneste structura de spatiu vectorial (linear) (! se verifica cele doua axioame: pentru \( u,v\in C \) si \( \lambda\in\mathbb{R} \) avem ca \( (u+v)(x)=u(x)+v(x) \) si ca \( u(\alpha x)=\alpha u(x) \))
Definim \( A \) o submultime a lui \( C \) in maniera urmatoare:
o functie \( u\in C \) apartine multimii \( A \) daca satisface proprietatile:
i) \( |u(t)-x_{0}|\leq b, \forall t\in [t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha] \)
ii) \( |u(t_{1})-u(t_{2})|\leq M |t_{1}-t_{2}|, \forall t_{1}, t_{2}\in [t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha] \).
Multimea \( A \) este o submultime convexa a lui \( C \) (! pentru \( u,v\in A \) si \( t\in [0,1] \) avem \( tu+(1-t)v\in A \)). Pe multimea \( C \) introducem si norma \( ||u||=\max\{|u(t)|, t\in [t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha] \} \), de unde avem ca \( C \) este spatiu linear normat.
Multimea \( A \) este inchisa in \( C \) in raport cu topologia normei. Folosind teorema Arzela-Ascoli, rezulta ca \( A \) este compacta.
Acum, construim operatorul continuu \( T:C\to C \) definit astfel:
\( Tu(t)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t} f(s, u(s))ds \)
unde \( u\in C \).
Este cunoscut faptul ca daca \( \varphi(.):[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha] \) este solutie a problemei Cauchy, atunci ea verifica ecuatia integrala asociata, anume, \( \varphi(t)-\varphi(t_{0})=\int_{t_{0}}^{t}f(s, \varphi(s))ds \).
Astfel, problema noastra s-a "echivalat" cu existenta unui punct fix (adica \( T\varphi=\varphi \)) pentru operatorul \( T \). Conditiile i) si ii) ne asigura si conditia \( T(A)\subset A \).
Din teorema de punct fix a lui Schauder concluzia se impune. \( \qed \)
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.