Ecuatii diferentiale anul II semestrul I, 22 Ianuarie 2008

[dede]

Examen: Ecuatii diferentiale ordinare
Profesor: S. Mirica

1) Enuntati si demonstrati teorema privind derivatele partiale ale curentului maximal si proprietatea de integrala prima.
2)Fie \( a_1(.),a_2(.):I \subseteq R: \rightarrow R \) continue, \( \varphi_1(.) \neq 0 \) solutie a ecuatiei (1) \( x``=a_1(t)x`+a_2(t)x \)
a)Enuntati teorema Liouville pt ec (1)
b)daca \( t_0\in I , C_1 \in R, \varphi_2(.) \) solutie a ecuatiei (1) \( \Leftrightarrow \varphi_2(.) \) este solutie a ecuatiei (2) \( \varphi_1(t)y`-\varphi_1`(t)y=C{_1}e^{\int_{t_0}^t{a_1(s)ds} \)
c)\( \{\varphi_1(.),\varphi_2(.)\} \) sistem liniar independent \( \Leftrightarrow C_1 \neq 0 \)
d)solutia generala a ecuatiei (2)
e) sa se identifice \( \varphi_2(.() \) astfel incat \( \{\varphi_1(.),\varphi_2(.)\} \) este sistem fundamental de solutii
3) Fie sistemul
\( x`=\frac{x^2}{y-t} \)
\( y`=x+1 \)
Sa se enunte:
a) Teorema de existenta si unicitate a solutiilor maximale
b) Teorema privind Existenta Globala
c) Definitia integralei prime si criteriul pentru integrale prime
d) Teorema privind determinarea solutiilor cu ajutorul integralelor prime
e) Sa se arate ca \( F_1(t,(x,y))=\frac{x}{y-t} \) este integrala prima
f) Sa se determine solutia generala a sistemului
g) Sa se arate ca sistemul admite E.U.G.
h) Sa se arate ca sistemul nu verifica ipotezele Teoremei de E.G. Care?
4) Fie problema la limita \( 2xy-pq-z=0 \) \( x=1, z=y \)

[Dragos Fratila]

1. Existenta si unicitate globala (aia cu Cauchy-Lipschitz parca... ).
2. Sisteme liniare de ecuatii (sau afine, nu mai stiu) - enuntul teoremei si un exercitiu.
3. Integrale prime - definitii si un exercitiu.
4. Ecuatii cu derivate partiale, din cele cu p si q, plus un exercitiu.