Dilatarea unei contractii la un unitar

[Liviu Paunescu]

Fie \( x\in B(H) \) cu \( ||x||\leq 1 \). Sa se arate ca exista o izometrie \( v \) a lui \( H \) in alt spatiu Hilbert \( K \) si un operator unitar \( u\in B(K) \) astfel incat:

1. \( x^n=v^*u^nv;\ n=1,2,\ldots \)
2. \( \sum_{n\in\mathbb{Z}}u^nv(H) \) este densa in \( K \).

[Consonant]

Exista mai multe demonstratii la Teorema lui B. Sz-Nagy de dilatare unitara. Enuntul complet are si o parte de unicitate. Pentru cei care vor sa incerce abordarea "constructiva" le recomand sa incerce mai intai sa demonstreze urmatorul rezultat.

Propozitie: Fie \( H_1 \) si \( H_2 \) doua spatii Hilbert si \( T\in\mathcal{B{(H_1,H_2) \) cu \( ||T||\leq 1 \). Atunci exista doua spatii Hilbert \( K_j\supseteq H_j \) pentru \( j=1,2 \) si un operator unitar \( U\in\mathcal{B}(K_1,K_2) \) cu proprietatile urmatoare:

(a) \( P_{H_2}U|H_1=T \). (\( P_{H_2} \) este proiectia ortogonala pe \( H_2 \))

(b) \( H_2\vee U(K_1\ominus H_1)=K_2 \).

Operatorul \( U \) are si o proprietate de unicitate si se numeste rotatia elementara sau operatorul Julia asociat operatorului \( T \).

[Alexandru Chirvasitu]

Tin minte ce multumit am fost acum ceva vreme cand am gasit problema asta in "A Hilbert space problem book" a lui Halmos si chiar mi-a iesit . Demonstratia era intr-adevar constructiva, si folosea matrice de operatori. O sa fie cam greu sa le scriu pe aici, pentru ca unele din ele sunt, in mod natural, matrice infinite, dar o sa incerc sa descriu in cuvinte ce cred ca ar arata prea urat in LaTeX aici pe forum.

In primul rand, problema se reduce la cazul in care \( A \) este izometrie partiala astfel:

Fiecare contractie \( A \) pe \( \mathcal H \) (prin "contractie" inteleg operator de norma cel mult unu) are asociata o izometrie partiala \( M(A) \) pe \( \mathcal{H}\oplus\mathcal{H} \) data de matricea \( \left(\begin{array}{cc}A&A\prime\\0&0\end{array}\right) \), unde \( A\prime \) este radicalul operatorului pozitiv \( 1-AA^* \). Evident, orice dilatare unitara a lui \( M(A) \) care satisface conditia 1 din cerinta o sa functioneze si pentru \( A \). Ca intr-adevar \( M=M(A) \) e izometrie partiala se verifica usor. Trebuie doar demonstrata identitatea \( MM^*M=M \).

De acum pot deci sa presupun ca \( A \) este o izometrie partiala. In cazul asta se da o constructie directa a unui operator unitar pe suma directa \( \mathcal K \) a numarabil de multe copii ale lui \( \mathcal H \), specificand pur si simplu matricea infinita asociata operatorului. O sa descriu matricea asta in cuvinte.

Copiile lui \( \mathcal H \) care intra in suma directa \( \mathcal K \) vor fi indexate dupa multimea numerelor intregi, iar spatiul \( \mathcal H \) initial va corespunde indicelui \( 0 \). Matricea are operatori nenuli uniform marginiti doar pe diagonala principala si pe diagonala care se afla imediat deasupra celei principale, deci cu siguranta defineste un operator marginit pe \( \mathcal K \). Pe pozitiile \( (n,n) \) cu \( n \) numar intreg par apare operatorul \( A \), iar pe cele cu \( n \) impar apare \( A^* \). Pe pozitiile \( (n,n+1) \) cu \( n \) par (adica imediat in dreapta fiecarui \( A \)) apare \( 1-AA^* \) (care este proiectie, pentru ca \( A \) a fost presupus izometrie partiala), iar pe pozitiile \( (n,n+1) \) cu \( n \) impar apare \( 1-A^*A \). Atat. Restul componentelor matricei infinite sunt nule.

Ramane acum numai verificarea faptului ca operatorul definit de matricea asta e intr-adevar unitar (pe care nu o sa o fac; se folosesc identitatile \( A=AA^*A \) si \( A^*=A^*AA^* \) in mod repetat), pentru ca e clar ca puterile sale sunt dilatari ale puterilor corespunzatoare ale lui \( A \).

[Liviu Paunescu]

Superb, Grobber!!!!! Esti totusi sigur ca se verifica si a doua conditie ca \( \sum U^nv(H) \) este dens in suma infinita de spatii \( H \)?

Oricum solutia merita in sine. Acum al doilea pas se justifica usor printr-o poza, dar reducerea la o izometrie partiala nu imi este foarte clara. Adica vad usor prin calcule ca \( M(A)M(A)^* \) este proiectia pe \( H\oplus 0 \), dar se poate da o justificare geometrica, de unde apare acel \( A^\prime \)?

[Alexandru Chirvasitu]

Nu mi-a pasat de conditia a doua (care probabil nici nu e satisfacuta in general de constructia de mai sus) pentru ca mi s-a parut neesentiala . Odata construita o dilatare care verifica (1), pot sa inlocuiesc pur si simplu spatiul pe care actioneaza dilatarea respectiva cu cel mai mic subspatiu care contine \( v(\mathcal{H}) \) si reduce \( u \) (prin subspatiu care "reduce" un operator inteleg ca atat subspatiul cat si complementul sau ortogonal sunt invariante pentru operatorul respectiv; echivalent, e un subspatiu invariant atat pentru operatorul respectiv cat si pentru adjunctul acestuia). Ar trebui sa fie clar ca (1) o sa fie satisfacuta si daca privesc pe \( u \) ca operator unitar pe acest spatiu mai micut.

In legatura cu primul pas, de reducere la izometrii partiale (inteleg eu bine ca ai spus ca nu iti e foarte clar de ce se justifica pasul respectiv?), \( M(A) \) e o dilatare a lui \( A \) (care indeplineste si conditia (1); Halmos le numeste pe astea "power dilations"). Pasul al doilea construieste o dilatare cu proprietatea respectiva pentru \( M(A) \). Proprietatea de a fi o "power dilation" pentru un operator e tranzitiva, deci gata.