l_1 e spatiu Banach
Moderator: Liviu Paunescu
-
Dragos Fratila
- Newton
- Posts: 313
- Joined: Thu Oct 04, 2007 10:04 pm
l_1 e spatiu Banach
Fie \( l_1=\{(x_n)_n\subset C, \sum|x_n|<\infty\} \). Demonstrati ca \( l_1 \) este Banach cu norma \( ||(x_n)_n||=\sup |x_n| \)
Last edited by Dragos Fratila on Fri Oct 05, 2007 12:44 am, edited 1 time in total.
-
Liviu Paunescu
- Pitagora
- Posts: 84
- Joined: Wed Sep 26, 2007 6:57 pm
-
Liviu Paunescu
- Pitagora
- Posts: 84
- Joined: Wed Sep 26, 2007 6:57 pm
Pai daca tot l-am pomenit pe \( c_0 \) cea mai frumoasa solutie acum este sa aratam ca \( l^1=(c_0)^* \) adica \( l^1 \) este dualul lui \( c_0 \). Atunci \( l^1 \) va fi Banach deoarece este dualul unui spatiu normat.
Am sa notex cu \( e_n \) sirurile care au doar un \( 1 \) pe pozitia \( n \) si in rest \( 0 \). Evident \( e_n\in c_0 \).
Fie \( \omega:c_0\to\mathbb{C} \) continua. Notam cu \( \omega_n=\omega(e_n) \). Evident \( \omega \) se identifica cu sirul \( (\omega_n)_n \).
Pentru fiecare \( n \) sirul \( e_1+e_2+\ldots+e_n \) este in \( c_0 \) si are norma \( 1 \). Atunci \( \omega(e_1+\ldots+e_n)=\omega_1+\ldots+\omega_n\leq||\omega||\cdot||e_1+\ldots+e_n||=||\omega|| \).
Trecand la limita dupa \( n \) avem \( \sum_{n\geq 1}\omega_n<\infty \).
Reciproc se vede usor ca daca \( (\omega_n)_n\in l^1 \) putem construi o functionala liniara \( \omega \) pe \( c_0 \) si mai mult \( ||(\omega_n)_n||_{c_0}=||\omega|| \).
Deci \( l^1=(c_0)^* \) si atunci este Banach. Ce vroiam sa zic este ca aceasta problema are un corespondent la nivel necomutativ:
Fie \( H \) un spatiu Hilbert separabil. Avem multimea \( K(H) \) a operatorilor compacti pe \( H \). Daca ne uitam la un operator compact diagonalizabil vedem ca elementele ce apar pe diagonala formeaza un sir din \( c_0 \), deoarece un operator compact se poate aproxima in topologia normei cu operatori de rang finit. Dualul spatiului Banach (printre altele spatiu Banach) \( K(H) \) este spatiul operatorilor cu urma. Eu l-am gasit notat cu \( L(H)_* \), nu stiu cat de consacrata este notatia asta. Un operator \( T \) pozitiv se numeste cu urma daca avem \( (\xi_n) \) o baza ortonormata pentru care:
\( \sum_{n>0}(T\xi_n|\xi_n)<\infty. \)
Este generalizarea urmei de la matrici. In cazul unui operator oarecare inlocuiti \( T \) cu \( |T|=(T^*T)^{1/2} \). Nu toti operatorii au urma insa, exemplu identitatea pe un spatiu infinit dimensional. Dar daca suma aceea e finita atunci ea nu depinde de alegrea bazei ortonormate. Un operator cu urma diagonalizabil se identifica cu un element din \( l^1 \).
Mai mult \( (l^1)^*=l^\infty \) (siruri marginite), iar \( (L(H)_*)^*=B(H) \), adica operatori marginiti. Un operator marginit diagonalizabil, este bineinteles un sir marginit.
Am sa notex cu \( e_n \) sirurile care au doar un \( 1 \) pe pozitia \( n \) si in rest \( 0 \). Evident \( e_n\in c_0 \).
Fie \( \omega:c_0\to\mathbb{C} \) continua. Notam cu \( \omega_n=\omega(e_n) \). Evident \( \omega \) se identifica cu sirul \( (\omega_n)_n \).
Pentru fiecare \( n \) sirul \( e_1+e_2+\ldots+e_n \) este in \( c_0 \) si are norma \( 1 \). Atunci \( \omega(e_1+\ldots+e_n)=\omega_1+\ldots+\omega_n\leq||\omega||\cdot||e_1+\ldots+e_n||=||\omega|| \).
Trecand la limita dupa \( n \) avem \( \sum_{n\geq 1}\omega_n<\infty \).
Reciproc se vede usor ca daca \( (\omega_n)_n\in l^1 \) putem construi o functionala liniara \( \omega \) pe \( c_0 \) si mai mult \( ||(\omega_n)_n||_{c_0}=||\omega|| \).
Deci \( l^1=(c_0)^* \) si atunci este Banach. Ce vroiam sa zic este ca aceasta problema are un corespondent la nivel necomutativ:
Fie \( H \) un spatiu Hilbert separabil. Avem multimea \( K(H) \) a operatorilor compacti pe \( H \). Daca ne uitam la un operator compact diagonalizabil vedem ca elementele ce apar pe diagonala formeaza un sir din \( c_0 \), deoarece un operator compact se poate aproxima in topologia normei cu operatori de rang finit. Dualul spatiului Banach (printre altele spatiu Banach) \( K(H) \) este spatiul operatorilor cu urma. Eu l-am gasit notat cu \( L(H)_* \), nu stiu cat de consacrata este notatia asta. Un operator \( T \) pozitiv se numeste cu urma daca avem \( (\xi_n) \) o baza ortonormata pentru care:
\( \sum_{n>0}(T\xi_n|\xi_n)<\infty. \)
Este generalizarea urmei de la matrici. In cazul unui operator oarecare inlocuiti \( T \) cu \( |T|=(T^*T)^{1/2} \). Nu toti operatorii au urma insa, exemplu identitatea pe un spatiu infinit dimensional. Dar daca suma aceea e finita atunci ea nu depinde de alegrea bazei ortonormate. Un operator cu urma diagonalizabil se identifica cu un element din \( l^1 \).
Mai mult \( (l^1)^*=l^\infty \) (siruri marginite), iar \( (L(H)_*)^*=B(H) \), adica operatori marginiti. Un operator marginit diagonalizabil, este bineinteles un sir marginit.
\( l_1 \) cu sup-norma \( ||x||_\infty=\sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n| \) nu poate fi spatiu Banach. Mergand pe linia notatiilor introduse de Liviu, un argument este urmatorul: fie \( f \) spatiul vectorial al sirurilor de numere complexe \( x=(x_n)_{n\geq 1} \) finite (in sensul, \( x_n=0 \) pentru \( n \) suficient de mare). Este usor de aratat ca \( f \) este dens in \( c_0 \) in raport cu sup-norma. Pe de alta parte, \( f\subset l_1\subset c_0 \). In plus, \( c_0 \) este complet cu sup-norma. De aici, daca \( l_1 \) ar fi complet in raport cu sup-norma, ceea ce este echivalent cu \( l_1 \) este inchis in \( c_0 \) cu sup-norma, ar rezulta ca \( l_1 \) ar fi egal cu \( c_0 \), ceea ce este fals.
Viata este complexa: are atat parte reala cat si parte imaginara.
-
Liviu Paunescu
- Pitagora
- Posts: 84
- Joined: Wed Sep 26, 2007 6:57 pm
O da, clar, neatentie totala. Bine, demonstratia este corecta, dar am folosit norma 1 fara sa zic asta. Am sa revin cu o demonstratie mai detaliata.
Ok, in solutia pe care am prezentat-o am identificat \( l^1 \) cu \( (c_0)^* \) doar la nivel de multimi, nefiind deloc atent la norme. Asta este, se mai intampla
.
Sa vedem acum ce norma avem pe \( (c_0)^* \) si, prin acea identificare, ce norma obtinem pe \( l^1 \).
Fie deci \( \omega\in(c_0)^* \). Am identificat \( \omega \) cu sirul \( (\omega_n)_n \) unde \( \omega_n=\omega(e_n) \) si am aratat ca acest sir este in \( l^1 \).
Mai mult (si peste lucru acesta am trecut prea usor) am vazut ca \( \omega_1+\ldots\omega_n\leq||\omega|| \). Am sa arat ca \( ||\omega||=\sum_n|\omega_n| \).
Pai fie \( \lambda_i \) astfel incat \( |\omega_i|=\lambda_i\omega_i \). Atunci \( ||\omega||\geq\omega(\lambda_1e_1+\ldots\lambda_ne_n)= |\omega_1|+\ldots+|\omega_n| \) deci, la limita \( ||\omega||\geq\sum|\omega_n| \).
Inegalitatea inversa rezulta usor: \( |\omega((x_n)_n)|=|\sum_n x_n\omega_n| \leq\sum |x_n|\cdot|\omega_n|\leq ||(x_n)_n||\sum_n|\omega_n| \).
Deci \( (c_0,||\cdot||_\infty)^*=(l^1,||\cdot||_1) \). Aproape analog se arata ca \( (l^1,||\cdot||_1)^*=(l^\infty,||\cdot||_\infty) \).
In varianta necomutativa despre care vorbeam \( K(H) \) si \( B(H) \) sunt cu norma operatoriala uzuala, iar acel \( L(H)_* \) cu norma data de urma: \( ||x||_1=tr|x| \).
Inchiderea lui \( l_1 \) in norma infinit este \( c_0 \) asa cum Consonant a demonstrat si la fel cum operatorii cu urma sunt densi in topologia normei in \( K(H) \).
Ok, in solutia pe care am prezentat-o am identificat \( l^1 \) cu \( (c_0)^* \) doar la nivel de multimi, nefiind deloc atent la norme. Asta este, se mai intampla
.Sa vedem acum ce norma avem pe \( (c_0)^* \) si, prin acea identificare, ce norma obtinem pe \( l^1 \).
Fie deci \( \omega\in(c_0)^* \). Am identificat \( \omega \) cu sirul \( (\omega_n)_n \) unde \( \omega_n=\omega(e_n) \) si am aratat ca acest sir este in \( l^1 \).
Mai mult (si peste lucru acesta am trecut prea usor) am vazut ca \( \omega_1+\ldots\omega_n\leq||\omega|| \). Am sa arat ca \( ||\omega||=\sum_n|\omega_n| \).
Pai fie \( \lambda_i \) astfel incat \( |\omega_i|=\lambda_i\omega_i \). Atunci \( ||\omega||\geq\omega(\lambda_1e_1+\ldots\lambda_ne_n)= |\omega_1|+\ldots+|\omega_n| \) deci, la limita \( ||\omega||\geq\sum|\omega_n| \).
Inegalitatea inversa rezulta usor: \( |\omega((x_n)_n)|=|\sum_n x_n\omega_n| \leq\sum |x_n|\cdot|\omega_n|\leq ||(x_n)_n||\sum_n|\omega_n| \).
Deci \( (c_0,||\cdot||_\infty)^*=(l^1,||\cdot||_1) \). Aproape analog se arata ca \( (l^1,||\cdot||_1)^*=(l^\infty,||\cdot||_\infty) \).
In varianta necomutativa despre care vorbeam \( K(H) \) si \( B(H) \) sunt cu norma operatoriala uzuala, iar acel \( L(H)_* \) cu norma data de urma: \( ||x||_1=tr|x| \).
Inchiderea lui \( l_1 \) in norma infinit este \( c_0 \) asa cum Consonant a demonstrat si la fel cum operatorii cu urma sunt densi in topologia normei in \( K(H) \).