Se descompune sau nu?

[Iulian Cimpean]

Fie E(x) o expresie polinomiala de x cu coeficienti intregi. Daca E(n) nu e numar prim, oricare ar fi n numar intreg, se poate afirma ca E(x) se descompune?

[Filip Chindea]

Fie E(x) o expresie polinomiala de x cu coeficienti intregi. Daca E(n) nu e numar prim, oricare ar fi n numar intreg, se poate afirma ca E(x) se descompune?

Exprimarea ta este complet neriguroasa. Nu am idee cum definesti decompozabilitatea unei "expresii polinomiale (?)". Sau altfel aceasta problema cu siguranta nu apartine forumului de clasa a VIII-a.

Precedent clarificarii enuntului, permite-mi sa ofer un singur rezultat (care de fapt este conjectura) si anume Ipoteza H apartinând lui Schinzel & Sierpinski:
Fie \( n \in \mathbb{N}^{\ast} \) si \( f_k \in \mathbb{Z}[X] \) cu \( \mathrm{deg} f_k \ge 1 \) ireductibile având coeficientul dominant pozitiv, pentru orice \( k \in \overline{1,n} \). Daca pentru orice prim \( p \) exista un întreg \( n \) astfel încât pentru orice \( k \in \overline{1,n} \), \( p \) nu divide \( \tilde{f}_k(n) \) (valoarea în punctul respectiv a functiei polinomiale asociate), atunci exista o infinitate de numere naturale \( n \) cu fiecare \( f_k(n) \) prim.

Altceva legat de post-ul tau nu vad. Ceea ce este trist este ca singurul progres înregistrat este pentru \( n = 1 \), si acela doar în cazul particular furnizat de teorema lui Dirichlet...

[bae]

***

[Filip Chindea]

Fie \( E\in\mathbb{Z}[X] \). Stim ca \( E(n) \) este numar compus pentru orice n numar intreg. Rezulta de aici ca polinomul E este reductibil?

Chiar si în acest caz, \( E \equiv X^2 - X + 4 \) este un contraexemplu (\( 2 | \tilde{E}(n) \) pentru orice \( n \in \mathbb{Z} \), dar \( E \) este ireductibil, chiar si în \( \mathbb{R}[X] \)!). July este cel care avea datoria de a redacta un post riguros si de a alcatui un enunt care sa reprezinte o întrebare... "cu greutate" (într-o maniera similara obtinerii Ipotezei postate deasupra). De fapt am senzatia ca user-ul respectiv se referea tocmai la aceasta, cel putin asa se poate specula din alegerea \( E \equiv X^2 - X + 4 \).

[bae]

***

[Filip Chindea]

Sau poate ca dorea sa intrebe invers:
Daca E(n) este numar prim pentru orice n intreg, rezulta ca E este ireductibil?

Ipoteza aceasta este un pic cam restrictiva: conform acestui topic, nu se îndeplineste decât pentru o singura clasa de polinoame.

[Filip Chindea]

In concluzie, July este asteptat cu un reply care sa clarifice enuntul. By the way, si o referinta ar fi binevenita, sa nu citam probleme "dupa ureche".

[Marcelina Popa]

Intrebarea este pusa in sectiunea corespunzatoare clasei a VIII-a, (probabil) de un elev de clasa a VIII-a care avea nevoie, intr-o problema, de un rezultat similar celui formulat de bae.

N-are niciun rost sa-i cerem unui om sa vorbeasca intr-o limba pe care inca n-a invatat-o.

Scuze pentru dadaceala, insa ma tem ca July sa nu dea bir cu fugitii, vazand ca i se cere sa stie toata materia de liceu pentru a putea pune o intrebare pe forumul asta .

In plus, intrebarile imprecis formulate sunt uneori interesante, tocmai pentru ca admit mai multe "traduceri" riguroase.

Edit: Se pare ca July nu este elev in clasa a VIII-a, asa cum am presupus eu, ci student (m-am uitat intre timp in profil). In cazul asta, philandrew are dreptate: pretentiile sunt mai mari.