Corpurile infinite nu au grupul multiplicativ ciclic

[bae]

Sa se arate ca un corp infinit nu poate avea grupul multiplicativ ciclic.

[Marius Mainea]

Daca prin absurd K* ar fi ciclic atunci ar exista \( a\in K\setminus\{0,1\} \) astfel incat

\( K=\{0,1,a,a^2,...,a^n....\} \)

Insa atunci \( a^{-1}=a^p \) deci

\( K=\{0,1,a,...,a^p\} \) contradictie cu faptul ca K este infinit.

Observatie :
In cazul corpurilor finite aceasta proprietate nu mai este adevarata intrucat\( \mathbb{Z}^{\ast}_p \) cu p prim are grupul mltiplicativ ciclic.

[Dragos Fratila]

Incearca urmatorul exercitiu:
\( A \) un domeniu de integritate si \( G <U(A) \) (\( U(A) \) = elementele inversabile ale lui \( A \)), \( G \) grup finit. Atunci \( G \) este ciclic.
In particular, grupul multiplicativ al oricarui corp finit este ciclic.

[cred ca e in programa de olimpiada acest rezultat]

[Marius Mainea]

\( A \) un domeniu de integritate si \( G <U(A) \) (\( U(A) \) = elementele inversabile ale lui \( A \)), \( G \) grup finit. Atunci \( G \) este ciclic.

Folosim relatia \( \sum_{d/n}{\phi(d)}=n \) unde \( \phi(d) \) - functia lui Euler = numarul acelor \( k\le d \) cu \( (k,d)=1 \).

Daca |G|=n, atunci orice element \( x\in G \) verifica \( x^n=1 \), deci ord(x)=d unde d|n.

Daca d|n si x este un element de ordin d atunci \( x, x^2, x^3 ,... , x^d \), sunt cele d solutii ale ecuatiei \( x^d=1,\ x\in A \).

Dintre acestea numarul elementelor de ordin d este \( \phi(d) \) (mai precis elementele \( x^k \) cu (k,d)=1).

Asadar pentru d|n G contine cel mult \( \phi(d) \) elemente de ordin d.

Dar cum \( \sum_{d/n}{\phi(d)}=n \), rezulta ca pentru fiecare d|n, G contine exact \( \phi(d) \) elemente de ordin d.

In particuler G contine \( \phi(n) \) elemente de ordin n, deci G este ciclic.