Ceva simplu despre patratul unui numar prim

[Teodor Cioaca]

\( \forall p \gt 5 \mbox{ prim } \Rightarrow p^{2} \equiv 1 \mbox{ sau } p^{2} \equiv 49 \mbox{ (mod 120) } \)
Un exercitiu de rabdare..

[Cristi Popa]

\( \forall \mbox{ $p$ prim }, p>5, p \equiv n \mbox{( mod 120)}
\Rightarrow (n,120)=1.
\\
\mbox{ Daca nu ar fi asa:}
\\
(m,120)=d \neq 1 \Rightarrow \exists a, b \in \mathbf{Z} \mbox{ astfel incat
} n=da \mbox{ si } 120=db \mbox{ (1) }
\\
\mbox{ Dar } p \equiv n \mbox{ (mod 120) } \Rightarrow p=\mathcal{M}_{120}+n=120m+n, m \in \mathbf{Z} \mbox{ (2) }
\\
\mbox{ Din (1) si (2) }


\Rightarrow p=\mathcal{M}_{120}+da=120m+da=dbm+da=d(bm+a), d \neq 1, bm+a \neq 1 \Rightarrow \mbox{ p compus - contradictie }

\\ \varphi(120)=120(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})=32
\\
\mbox{ Deci, } n \in \{ 1,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59,61,67,71,73,77,79,83,89,91,97,101,103,107,109,113,119
\}
\\
p \equiv n \mbox{ ( mod 120 )} \Rightarrow p^2 \equiv n^2 \equiv 1,49 \mbox{ (mod 120) }
\\
\mbox{ Deci, } p^2\equiv 1,49 \mbox{ (mod 120) }

\)

[Filip Chindea]

In continuare voi oferi un approach accesibil chiar celor care incep "initierea".
Sunt clare \( p > 3 \Rightarrow p^2 \equiv 1 \pmod{3} \), iar \( p \) impar \( \Rightarrow p^2 \equiv 1 \pmod{8} \). In consecinta \( p^2 \equiv 1 \equiv 49 \pmod{24} \ (\ast) \).
Cum \( p > 5 \), avem cazurile \( p^2 \equiv 1 \pmod{5} \), care datorita \( (\ast) \) ne furnizeaza \( p^2 \equiv 1 \pmod{120} \), sau \( p^2 \equiv 4 \equiv 49 \pmod{5} \), iar din acelasi motiv \( p^2 \equiv 49 \pmod{120} \). Astfel afirmatia ta a fost confirmata imediat, fara sa puna adevarate probleme de rabdare. Iar potrivirea, in fapt, la nivelul de locala la clasa a VI-a ma face sa ma intreb la ce te-ai gandit punandu-l pe un forum dedicat problemisticii teoriei numerelor la nivel undergraduate.