Grup cu indicele centrului finit
Grup cu indicele centrului finit
Fie G un grup cu proprietatea ca indicele centrului sau este finit. Sa se arate ca subgrupul derivat G' este finit. (I. Schur)
Last edited by bae on Sun Jan 06, 2008 3:01 am, edited 1 time in total.
-
Dragos Fratila
- Newton
- Posts: 313
- Joined: Thu Oct 04, 2007 10:04 pm
Fie \( n=[G:Z(G)] \) si fie \( \{t_1,\ldots,t_n\} \) un sistem de reprezentanti pentru \( G/Z(G) \).
Atunci se verifica usor ca \( G\prime \) este generat de \( [t_i,t_j], i,j=1,2,...,n \). Asadar \( G\prime \) este finit generat.
Este clar ca \( Z(G)\cap G\prime \) are indice finit in \( G\prime \) (din a doua teorema de izomorfism), si un subgrup de indice finit al unui grup finit generat este la randul sau un grup finit generat.
Asadar \( H:=Z(G)\cap G\prime \) este un grup abelian finit generat.
Pentru a finaliza este suficient sa demonstram ca \( H \) este finit.
Folosind functia transfer rezulta ca aplicatia \( \tau: G\to Z(G), \tau(g) = g^n \) este un morfism de grupuri de la \( G \) la \( Z(G) \). Cum \( G/ker\tau \) este abelian rezulta ca \( G\prime \subset ker\tau \), ceea ce implica \( u^n=1 \), pentru orice \( u\in G\prime \). Deci \( G\prime \) este de torsiune, asadar si \( H \) este de torsiune, si fiind abelian este grup finit.
Atunci se verifica usor ca \( G\prime \) este generat de \( [t_i,t_j], i,j=1,2,...,n \). Asadar \( G\prime \) este finit generat.
Este clar ca \( Z(G)\cap G\prime \) are indice finit in \( G\prime \) (din a doua teorema de izomorfism), si un subgrup de indice finit al unui grup finit generat este la randul sau un grup finit generat.
Asadar \( H:=Z(G)\cap G\prime \) este un grup abelian finit generat.
Pentru a finaliza este suficient sa demonstram ca \( H \) este finit.
Folosind functia transfer rezulta ca aplicatia \( \tau: G\to Z(G), \tau(g) = g^n \) este un morfism de grupuri de la \( G \) la \( Z(G) \). Cum \( G/ker\tau \) este abelian rezulta ca \( G\prime \subset ker\tau \), ceea ce implica \( u^n=1 \), pentru orice \( u\in G\prime \). Deci \( G\prime \) este de torsiune, asadar si \( H \) este de torsiune, si fiind abelian este grup finit.
"Greu la deal cu boii mici..."