N - centrul de greutate pentru APQ.

[Virgil Nicula]

Fie triunghiul \( ABC \) cu circumcercul \( w \) . Notam mijlocul \( M \) al laturii \( [BC] \) , \( \{A,N\}=AM\cap w \) , \( P\in BN\cap AC \)

si \( Q\in CN\cap AB \) . Sa se arate ca \( N \) este centrul de greutate al triunghiului \( APQ \) daca si numai daca \( b^2+c^2=2a^2 \) .

[Claudiu Mindrila]

Pentru prima implicatie: Scriind puterea lui \( M \) fata de \( w \) obtinem ca \( MN=\frac{MB\cdot BC}{MA}=\frac{a^{2}}{2\sqrt{2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}} \) si de aici obtinem \( AN=AM+MN=\frac{\sqrt{2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2\sqrt{2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}}} \ (1) \). Deoarece \( N \) este centru de greutate rezulta ca \( AQ=2c,\ QP=2a,\ PA=2b \) de unde \( AR=\sqrt{2\left(b^{2}+c^{2}\right)-a^{2}} \) si \( AN=\frac{2}{3}AR \ (2) \). Egaland \( (1) \) si \( (2) \) se obtine exact ceea ce avem de aratat.