Concursul online MATEFBC, editia a 5 a, Subiectul 2

Mr. Ady · Post by **Mr. Ady** » Fri Jun 11, 2010 8:45 pm

Fie P un punct pe un cerc cu diametrul AB si e punctul M 2 AB astfel incat PM perpendicular pe AB. Cercurile cu diametrele MA si MB intersecteaza segmentele AP si BP in Q respectiv R. Aratati ca dreapta QR este o tangenta comuna a celor doua cercuri.

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Sat Jun 12, 2010 4:34 am

Eu as adauga in concluzie si determinarea unghiului ascutit dintre dreptele \( BC \) si \( QR \) (printr-o functie trigonometrica).
Va rog sa nu postati solutii decat dupa expirarea datei pana la care se trimit solutii la acest concurs on-line. Multumesc.
In caz contrar nu ar fi fairly si exprima lipsa de caracter, chiar daca descoperi singur ceea ce s-a mai descoperit inaintea ta.

Mr. Ady · Post by **Mr. Ady** » Sat Jun 12, 2010 12:25 pm

Da. Eu am postat subiectul, dupa cum se poate vedea, nu numai dupa afisarea baremului, ci dupa afisarea chiar a clasamentului. O zi buna

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Sun Jun 13, 2010 5:46 am

O.K. Poti posta solutia ta si apoi sa soliciti si alte solutii ... Sunt interesat sa aflu ce tehnica folosesti pentru a arata
ca o dreapta este tangenta unui cerc. Dupa aceea voi interveni si eu doar pentru a oferi cateva posibilitati de atac.

Mr. Ady · Post by **Mr. Ady** » Sun Jun 13, 2010 12:58 pm

Ok. Din pacate nu am programul LaTeX, asa ca voi posta fotografia pe care am trimis-o

Uploaded with ImageShack.us

Mr. Ady · Post by **Mr. Ady** » Sun Jun 13, 2010 4:03 pm

Sper ca se intelege scrisul

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Sun Jun 13, 2010 7:33 pm

Fie un triunghi \( PAB \) dreptunghic in \( P \) . Notam \( \left\|\ \begin{array}{c}
M\in AB\ ,\ PM\perp AB\\\\\\\\
Q\in PA\ ,\ MQ\perp AB\\\\\\\\
R\in AC\ ,\ MR\perp AC\end{array}\ \right\| \) .

Sa se arate ca dreapta \( QR \) este o tangenta comuna a cercurilor de diametre \( [MA] \) , \( [MB] \) .

Metoda 1. Pentru a arata ca o dreapta \( TS \) este tangenta unui cerc \( w \) in \( T\in d\cap w \) alegem convenabil o secanta prin \( S \) care taie \( w \)

in \( A \) si \( B \) , unde \( B\in (AS) \) . Ramane sa aratam ca \( \widehat {BAT}\equiv \widehat {STB} \) sau (metric) \( ST^2=SA\cdot SB \) . Revenim la problema propusa.

\( \left\|\ \begin{array}{ccccc}
\widehat{MAQ}\equiv\widehat{PMQ}\equiv\widehat{RQM} & \Longrightarrow & \widehat{MAQ}\equiv\widehat{RQM} & \Longrightarrow & RQ\ \mathrm{este\ tangenta\ la\ cercul\ de\ diametru}\ [MA]\\\\\\\\\\\
\widehat{MBR}\equiv\widehat{PMR}\equiv\widehat{QRM} & \Longrightarrow & \widehat{MBR}\equiv\widehat{QRM} & \Longrightarrow & RQ\ \mathrm{este\ tangenta\ la\ cercul\ de diametru}\ [MB]\end{array}\ \right\| \)

Metoda 2. Notam mijloacele \( N \) , \( O_a \) , \( O_b \) ale segmentelor \( [PM] \) , \( [AM] \) , \( [BM] \) respectiv. Pentru a arata ca \( QR \) este tangenta

comuna a cercurilor de diametre \( [MA] \) , \( [MB] \) trebuie dovedit ca \( QR \) este perpendiculara pe dreptele \( O_aQ \) si \( O_bR \) . Se arata usor

prin simetrie ca patrulaterele \( MNQO_a \) si \( MNRO_b \) sunt deltoizi inscritibili cu axe de simetrie (diametre) \( NO_a \) , \( NO_b \) respectiv.

In concluzie, \( QR\perp QO_a \) , \( QR\perp RO_b \) . Remarcam faptul ca patrulaterul \( ABRQ \) este inscriptibil deoarece

\( PA\cdot PQ=PM^2=PB\cdot PR\Longrightarrow PA\cdot PQ=PB\cdot PR \) (teorema catetei).

Metoda 3. Pentru a arata ca \( QR \) este perpediculara pe dreptele \( O_aQ \) si \( O_bR \) vom cauta o dreapta paralela cu acestea pe care \( QR \) este

perpendiculara. Notam mijlocul \( O \) al lui \( AB \) si se arata usor ca dreapta cautata este \( PO \) , adica \( PO\parallel QO_a \) si \( PO\parallel RO_b \) . Intr-adevar, \( PM \) si \( PO \)

sunt izogonale in unghiul \( \angle APB \) si deoarece patrulaterul \( AQPB \) este inscriptibil dreapta \( QR \) este antiparalela la latura \( [AB] \) , adica \( PO\perp QR \) .