Fie un triunghi \( ABC \) cu incentru \( I \) si circumcentru \( O \) . Notam mijlocul \( M \) al laturii \( [BC] \) . Este evident ca implicatia
\( A=90^{\circ}\ \Longrightarrow\ IO=IM \) este adevarata . Este adevarata si reciproca, adica \( IO=IM\ \Longrightarrow\ A=90^{\circ}\ \ ? \)
Reciproca-i adevarata ?
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
-
Mateescu Constantin
- Newton
- Posts: 307
- Joined: Tue Apr 21, 2009 8:17 am
- Location: Pitesti
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
CORECT. De regula este suficient de a oferi un contraexemplu, ceea ce tu ai facut chiar cu prisosinta.
Important este insa de a gasi o echivalenta metrica pentru \( IO=IM \) , adica toate triunghiurile pentru care
aceasta relatie este satisfacuta. In general, \( \underline{\overline{\left\|\ IO=IM \ \Longleftrightarrow\ A=90^{\circ}\ \ \vee\ \ \cos A=\frac {2r}{R}\ \right\|}} \) . Vezi My blog.
Exemplu 1. Triunghiul pitagoreic \( B \)-dreptunghic \( ABC \) pentru care \( a=3 \), \( b=5 \) , \( c=4 \) .
Exemplu 2. Triunghiul \( B \)-isoscel \( ABC \) pentru care \( a=c=2 \), \( b=3 \) .
Exemplu 3. Triunghiul \( ABC \) in care \( A=60^{\circ} \) si \( R=4r \) .
Exemplu 4. In triunghiul \( ABC \) pentru care \( \cos A=\frac {2r}{R} \) si \( R=r\left(1+\sqrt 5\right) \) triunghiul \( IOM \) este echilateral.
Aceste triunghiuri nu sunt \( A \)-dreptunghice si totusi \( IO=IM \) , unde \( M \) este mijlocul lui \( [BC] \) .
OFF - topic. Am si eu o rugaminte la tine, poate ma "instruesti" cum sa realizez si eu figurile
geometrice care insotesc enunturile si/sau demonstratiile unei probleme de geometrie plana (numai !).
Iti multumesc si-ti promit ca voi fi un elev ascultator si imi voi da toata silinta sa iau "premiu cu coronita".
Important este insa de a gasi o echivalenta metrica pentru \( IO=IM \) , adica toate triunghiurile pentru care
aceasta relatie este satisfacuta. In general, \( \underline{\overline{\left\|\ IO=IM \ \Longleftrightarrow\ A=90^{\circ}\ \ \vee\ \ \cos A=\frac {2r}{R}\ \right\|}} \) . Vezi My blog.
Exemplu 1. Triunghiul pitagoreic \( B \)-dreptunghic \( ABC \) pentru care \( a=3 \), \( b=5 \) , \( c=4 \) .
Exemplu 2. Triunghiul \( B \)-isoscel \( ABC \) pentru care \( a=c=2 \), \( b=3 \) .
Exemplu 3. Triunghiul \( ABC \) in care \( A=60^{\circ} \) si \( R=4r \) .
Exemplu 4. In triunghiul \( ABC \) pentru care \( \cos A=\frac {2r}{R} \) si \( R=r\left(1+\sqrt 5\right) \) triunghiul \( IOM \) este echilateral.
Aceste triunghiuri nu sunt \( A \)-dreptunghice si totusi \( IO=IM \) , unde \( M \) este mijlocul lui \( [BC] \) .
OFF - topic. Am si eu o rugaminte la tine, poate ma "instruesti" cum sa realizez si eu figurile
geometrice care insotesc enunturile si/sau demonstratiile unei probleme de geometrie plana (numai !).
Iti multumesc si-ti promit ca voi fi un elev ascultator si imi voi da toata silinta sa iau "premiu cu coronita".