Problema clasica

[andreiilie]

Problema clasica:

Demonstrati ca multimea numerelor prime e infinita

Extindere:

Demonstrati ca multimea numerelor care au suma cifre egal cu produsul cifrelor este infinita.

[Marius Mainea]

Daca \( \mathcal{P}=\{p_1,p_2,...,p_n\} \) ar fi finita atunci

\( n=p_1p_2...p_n+1 \) ar mai avea un factor prim.

Pentru a doua \( n=\overline{\underbrace{222..2}_{kori}\underbrace{111...111}_{2^k-2kori}} \) \( k\in\mathbb{N^{\ast}} \)

[andreiilie]

imi cer scuze ca nu folosesc latexul:)
felicitari pt rezolvari, dar la a doua se putea redacta mai bine asa:)
P.p.a ca M={x din N | S cifre(x)=Prod cifre ( x)} este finita
=> are max . fie acesta z=a(1)a(2)....a(n).
alegem nr y=b(1)b(2)...b(n) astfel incat S cif(y) < Prod cifre(y) =>
exista "r" a.i. r+S cif(y) = Prod cifre(y). formam numarul
b(1)b(2)...b(n)11....11 , unde numarul de cifre de 1 este n. numarul apartine lui M, deoarcele implineste conditia S cifre=Prod cifre, si este mai mare decat z=a(1)a(2)..a(n), are mai mult cu n cifre decat z=max(M)=> contradictie => concluzia