Conc.interj."Grigore Moisil" Urziceni 2010 probl.3

[Andi Brojbeanu]

Fie cubul \( ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} \) cu muchia \( AB=2a \), iar \( M, N \) si \( P \) mijloacele muchiilor \( [AB] \), \( [BC] \) respectiv \( [DD^{\prime}] \). Sa se determine perimetrul si aria sectiunii formate de planul \( (MNP) \) in cubul dat.
E:13918, G.M. Nr. 11/2009

[Alin]

\( MN \) este linie mijlocie in triunghiul dreptunghic \( ABC \) cu \( BC=2a\sqrt{2} \), deci \( MN=a\sqrt{2} \). Din triunghiul dreptunghic \( PDM \) va trebui sa-l aflam pe \( DM \) si de-aici mai departe pe \( PM \). \( DM \) este ipotenuza triunghiului dreptunghic \( ADM \), deci \( DM^2=a^2+4a^2=5a^2 \Rightarrow DM=a\sqrt{5} \). Din triunghiul dreptunghic \( PDM \) aflam ipotenuza \( PM=a\sqrt{6} \). Analog in triunghiul dreptunghic \( PDN \) cu \( PN=a\sqrt{6} \).
Perimetrul triunghiului \( MNP=2a\sqrt{6}+a\sqrt{2}=a(2\sqrt{6}+\sqrt{2}) \).
Observam ca triunghiul \( MNP \) este isoscel. Ducem inaltimea \( PQ \). Astfel \( PQ \) este cateta in triunghiul dreptunghic \( PQN \) si o aflam din teorema lui Pitagora : \( PQ^2=PN^2-QN^2 \Rightarrow PQ^2=6a^2-\frac{2a^2}{4}=\frac{22a^2}{4} \Rightarrow PQ=\frac{a\sqrt{22}}{2} \). Deci : \( A_{MNP}=\frac{\frac{a\sqrt{22}}{2}\cdot a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^2\sqrt{11}}{2} \).

[Andi Brojbeanu]

Nu se cer perimetrul si aria tringhiului \( MNP \), ci ale sectiunii determinate de planul \( (MNP) \) in cub.

[Robert_Samoilescu95]

Sectiunea este un pentagon al carui perimetru se poate determina din niste triunghiuri dreptunghice iar pt arie se proiecteaza acest penatagon pe planul (ABC) si folosim relatia S'=S cos u , unde S'- aria proiectiei, S-aria pentagonului, u- masura unghiului format de planul pentagonului cu planul (ABC)