Sa se arate ca daca patru numere complexe \( a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d \) , nenule si distincte doua cate doua , verifica egalitatile
\( a+b+c+d=a^3+b^3+c^3+d^3=0 \) , atunci ele sunt afixele varfurilor unui paralelogram (eventual degenerat) cu
centrul de simetrie in originea planului .
Marcel Tena
Afixele unui paralelogram
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
Mateescu Constantin
- Newton
- Posts: 307
- Joined: Tue Apr 21, 2009 8:17 am
- Location: Pitesti
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Folosind relatiile lui Newton :
\( a^3+b^3+c^3+d^3-(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a+b+c+d)-(abc+abd+bcd+acd)3=0 \)
de unde \( abc+abd+bcd+acd=0 \) de unde
\( ab(c+d)+cd(a+b)=0 \) sau \( (ab-cd)(a+b)=0 \)
si la fel \( (ac-bd)(a+c)=0 \)
Presupunand ca \( a+b\neq 0 \) si \( a+c\neq 0 \) atunci \( \frac{b}{c}=\frac{c}{b} \) deci \( b+c=0 \)
O alta justificare ar fi ca \( a,b,c,d \) sunt radacinile ecuatiei
\( X^4+\alpha X^2+\beta=0 \) care are radacinile opuse doua cate doua.
\( a^3+b^3+c^3+d^3-(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a+b+c+d)-(abc+abd+bcd+acd)3=0 \)
de unde \( abc+abd+bcd+acd=0 \) de unde
\( ab(c+d)+cd(a+b)=0 \) sau \( (ab-cd)(a+b)=0 \)
si la fel \( (ac-bd)(a+c)=0 \)
Presupunand ca \( a+b\neq 0 \) si \( a+c\neq 0 \) atunci \( \frac{b}{c}=\frac{c}{b} \) deci \( b+c=0 \)
O alta justificare ar fi ca \( a,b,c,d \) sunt radacinile ecuatiei
\( X^4+\alpha X^2+\beta=0 \) care are radacinile opuse doua cate doua.