Concursul Arhimede etapa II 27.02.2010 problema 4

[Andi Brojbeanu]

Fie \( ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} \) un cub cu muchia egala cu \( a \). Se considera \( M \) si \( N \) mijloacele muchiilor \( [BC] \), respectiv \( [CC^{\prime}] \) si punctele \( P\in (AD^{\prime}), Q\in (MN), R\in (A^{\prime} C) \).
a) Demonstrati ca punctele \( P, Q, R \) sunt coliniare daca si numai daca \( \frac{AP}{NQ}=\frac{A^{\prime} R}{RC}=2 \).
b) Daca \( S \) este mijlocul segmentului \( PQ \) atunci \( OS\in [\frac{a\sqrt{2}}{8}, \frac{a\sqrt{5}}{4}] \) unde \( O \) este centrul cubului.
Traian Preda