Termeni ai unui sir in progresie aritmetica
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
-
Adriana Nistor
- Pitagora
- Posts: 82
- Joined: Thu Aug 07, 2008 10:07 pm
- Location: Drobeta Turnu Severin, Mehedinti
Termeni ai unui sir in progresie aritmetica
Se considera sirul \( (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} \) definit prin \( x_1=3 \) si \( x_{n+1}=\[\sqrt{2}x_n\] \) pentru \( n\ge1 \). Sa se determine toate valorile lui \( n \) pentru care \( x_n,\ x_{n+1},\ x_{n+2} \) sunt in progresie aritmetica.
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Este problema de la ONM/2000 Brasov.
Pe vremea aceea progresiile se faceau la clasa a X-a.
din \( 2x_{n+1}=x_n+x_{n+2} \) rezulta \( 2[x_n\sqrt{2}]=x_n+[\sqrt{2}[x_n\sqrt{2}]] \) de unde
\( 2\sqrt{2}x_n>2[x_n\sqrt{2}]=x_n+[\sqrt{2}[x_n\sqrt{2}]]>x_n+\sqrt{2}[x_n\sqrt{2}]-1>x_n-1+\sqrt{2}(x_n\sqrt{2}-1)=3x_n-\sqrt{2}-1 \)
si de aici \( x_n<7+5\sqrt{2}<16=x_7 \)
Deoarece sirul este strict crescator rezulta \( n\le 6 \) si analizand primii sase termeni obtinem \( n=1 \) si \( n=3 \).
Pe vremea aceea progresiile se faceau la clasa a X-a.
din \( 2x_{n+1}=x_n+x_{n+2} \) rezulta \( 2[x_n\sqrt{2}]=x_n+[\sqrt{2}[x_n\sqrt{2}]] \) de unde
\( 2\sqrt{2}x_n>2[x_n\sqrt{2}]=x_n+[\sqrt{2}[x_n\sqrt{2}]]>x_n+\sqrt{2}[x_n\sqrt{2}]-1>x_n-1+\sqrt{2}(x_n\sqrt{2}-1)=3x_n-\sqrt{2}-1 \)
si de aici \( x_n<7+5\sqrt{2}<16=x_7 \)
Deoarece sirul este strict crescator rezulta \( n\le 6 \) si analizand primii sase termeni obtinem \( n=1 \) si \( n=3 \).