Concursul interjudetean "MOISIL", Satu-Mare, 2009

[mihai miculita]

Problema 1:
Fie \( f, g: [a,b]\rightarrow \mathbb{R} \) doua functii cu proprietatile:
i) g este crescatoare pe \( [a,b] \);
ii) \( |f(x)-f(y)|\le|g(x)-g(y)|,\ (\forall)x,y\in[a,b] \) ;
iii) \( f(a)=g(a) \) si \( f(b)=g(b) \).
Demonstrati ca \( f(x)=g(x),\ (\forall)x\in[a,b] \). (Dorel Mihet)

Problema 2:
Aratati ca exista o infinitate de numere rationale \( a>0 \), pentru care ecuatia:
\( x=\sqrt{a-\sqrt{a+x}} \) sa aiba o radacina rationala. (Vasile Berinde).

Problema 3:
Fie sase puncte distincte pe un cerc de centru O.
a) Se considera dreapta care uneste ortocentrul triunghiului determinat de trei dintre cele sase puncte cu ortocentrul triunghiului determinat de celelalte trei puncte. Sa se demonstreze ca toate dreptele de acest tip sunt concurente intr-un punct X.
b) Se considera dreapta care uneste ortocentrul triunghiului determinat de trei dintre cele sase puncte si se uneste cu centrul de greutate al triunghiului determinat de catre celelalte trei puncte. Sa se demonstreze ca toate dreptele de acest tip sunt concurente intr-un punct Y.
c) Sa se demonstreze ca punctele O, X si Y sunt coliniare si punctul Y este mijlocul lui [OX]. (Daniel Vacaretu).

Problema 4:
Fie \( f:\mathbb{N}^*\rightarrow\mathbb{N} \) functia definita prin \( f(n)= \) numarul perechilor \( (x,y)\in\mathbb{Z}^2 \) cu proprietatea ca \( |x^2-y^2|=n \).
a) Sa se afle \( f(2009) \) si \( f(2010) \).
b) Sa se determine \( f(n) \). (Dorin Andrica si Mihai Piticari)

[Marius Mainea]

1) Fie \( x\ge y \). Atunci

\( g(y)-g(x)\le f(x)-f(y)\le g(x)-g(y) \)

si luind y=a obtinem

\( f(x)-f(a)\le g(x)-g(a)\Longrightarrow f(x)\le g(x) \)

Deasemenea luind x=b

\( f(b)-f(x)\le g(b)-g(x)\Longrightarrow f(x)\ge g(x) \)