Exploatarea relatiei de ordine pe R

[Marius Mainea]

Fie \( n\in\mathbb{N},n\ge 3 \) si \( x_1,x_2,...,x_n\in \mathbb{R} \) astfel incat

\( x_1+x_2+...+x_n=0 \) si \( x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=1 \).

Aratati ca printre numerele \( x_1,x_2,...,x_n \) , exista doua al caror produs este cel mult egal cu \( -\frac{1}{n} \).

[Marius Mainea]

Indicatie:

Ordonam numerele \( x_1\le x_1\le ...\le x_i<0<\le x_{i+1}\le ...\le x_n \) si aratam ca \( x_1x_n\le-\frac{1}{n} \).