Subiecte "Lumina Math"

[moldovan ana]

Sunt unele subiecte intalnite la concursul "Lumina Math" clasa 7-a pe care nu le-am stiut rezolva. Exemplu: problema nr.18 din varianta B de subiecte.

Se da un patrulater ABCD cu unghiurile ABD = 70, BDC = 65, ADB = 50, DBC = 55. Se cere unghiul facut de diagonala AC cu latura AD.

Va rog sa-mi aratati metodele cu care se ataca o asemenea problema.

[Marius Mainea]

\( 30^{\circ} \)

Se aplica Teorema sinusurilor.

[Virgil Nicula]

\( ABCD \) - patrulater convex cu \( \left\|\begin{array}{ccc}
m(\angle ABD) = 70^{\circ} & ; & m(\angle ADB) = 50^{\circ}\\\\\\\\
m(\angle CBD)=55^{\circ} & ; & m(\angle CDB)=65^{\circ}\end{array}\right\|\ \Longrightarrow\ m(\angle CAD)=30^{\circ} \) .

Metoda 1 ("slicing"). Fie \( E\in (BC) \) pentru care \( CE=CD \). Se observa ca \( \triangle CDE \) este echilateral, \( ABED \) este

ciclic si \( \triangle ADE \) este \( E \) - isoscel \( \ \Longrightarrow\ m(\angle CAE)=25^{\circ} \) si \( m(\angle BAE)=5^{\circ}\ \Longrightarrow\ m(\angle CAD)=30^{\circ} \).

Metoda 2 (doar pe baza unei observatii !). Notam \( \left\|\ \begin{array}{c}
X\in AB\ ,\ B\in (AX)\\\\\\\\
Y\in AD\ ,\ D\in (AY)\end{array}\ \right\| \) . Se observa ca :
\( \odot\ A=C=60^{\circ} \) .

\( \odot\ m(\angle CBX)=m(\angle CBD)=55^{\circ} \) , adica \( [BC \) este bisectoare pentru \( \angle XBD \) .

\( \odot\ m(\angle CDB)=m(\angle CDY)=65^{\circ} \) , adica \( [DC \) este bisectoare pentru \( \angle YDB \) .

Deci \( C \) este centrul cercului \( A \)-exinscris pentru \( \triangle ABD\ \Longrightarrow \)

\( [AC \) este bisectoare pentru \( \angle BAD\ \Longrightarrow m(\angle CAD)=30^{\circ} \) .

[moldovan ana]

Da, am inteles metoda si va multumesc !
Rezultat similar se obtinea daca construiam triunghiul echilateral ABF cu F pe AD, de unde rezulta ca ABCF este pseudoromb, deci AC este mediatoarea lui BF etc.
Eu m-am blocat construind patrulaterul "complet" ACMN inscriptibil deoarece patrulaterul ABCD are 2 unghuiri opuse egale, unde M si N sunt intersectia prelungirii laturilor opuse.

[Virgil Nicula]

@ Moldovan Ana. Si eu iti multumesc pentru postarea acestei frumoase probleme.
Acum incearca sa gasesti o extindere/generalizare (vezi aici daca nu reusesti).
Vezi in mesajul precedent si cea de-a doua solutie a problemei initiale ! Cu placere.