Concursul Nicolae Coculescu editia 2009 subiectul I

[Andi Brojbeanu]

Fie \( SABC \) un tetraedru echifacial (fetele sunt triunghiuri congruente). In triunghiurile \( SAB, SBC \), respectiv \( SCA \), construim bisectoarele \( AD, BE, CF \), cu \( D\in (SB), E\in (SC), F\in (SA) \), si \( DM\parallel AB, EN\parallel BC, FP\parallel CA \), unde \( M\in (SA), N\in (SB) \) si \( P\in (SC) \). Sa se arate ca:
\( 2(MD+NE+PF)\leq AB+BC+CA \).

Costel Anghel

[Marius Mainea]

Notand \( AB=c , BC=a , CA=b \) rezulta ca \( MD=\frac{ac}{a+c} \) si analoagele.

Apoi aplicam \( HM\le AM \)