Se considera paralelogramul \( ABCD \), \( E \) si \( F \) mijloacele laturilor \( [AB] \), respectiv \( [AD] \), \( \{G\}=CE\cap BD \), \( \{H\}=CF\cap BD \), \( \{P\}=FG\cap BC \), \( \{Q\}=EH\cap CD \). Aratati ca \( 3EF=2PQ \).
Mirela Marin, Iasi, Recreatii Matematice 1/2009
Segmente intr-un paralelogram
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
Draguta problema pentru clasa a VII - a : transmiterea prin paralelism a raportului a doua segmente de pe o drepta.
Si cu toate acestea juniorii au tratat-o ... prin indiferenta. A trecut deja aprox. o luna de la postarea ei ......
Generalizare. Se considera paralelogramul \( ABCD \), punctele \( E\in (AB) \) si \( F\in (AD) \) astfel incat \( EF\parallel BD \), \( G\in CE\cap BD \), \( H\in CF\cap BD \), \( P\in FG\cap BC \), \( Q\in EH\cap CD \). Aratati ca \( \underline {\overline{\left\|\ \frac {PQ}{EF}=1+\frac {BE}{BA}\ \right\|}} \).
Si cu toate acestea juniorii au tratat-o ... prin indiferenta. A trecut deja aprox. o luna de la postarea ei ......
Generalizare. Se considera paralelogramul \( ABCD \), punctele \( E\in (AB) \) si \( F\in (AD) \) astfel incat \( EF\parallel BD \), \( G\in CE\cap BD \), \( H\in CF\cap BD \), \( P\in FG\cap BC \), \( Q\in EH\cap CD \). Aratati ca \( \underline {\overline{\left\|\ \frac {PQ}{EF}=1+\frac {BE}{BA}\ \right\|}} \).
-
moldovan ana
- Pitagora
- Posts: 54
- Joined: Wed Sep 23, 2009 4:10 pm
Se demonstreaza mai intai lema:
"medianele = segment varf-mijloc latura opusa'' intr-un paralelogram taie diagonala in 3 parti egale.
Apoi fie DB = 3x. Rezulta EF = 3x/2 (1), deoarece este linie mijlocie.
Din asemanarea FDG cu GPB rezulta DF/PB = DG/GB = 2x/x = 2, deci PB = 1/4 CB, rezulta PQ/DB = 3/4, deci PQ = 9x/4 (2).
Din (1) si (2) rezulta 3EF = 9x/2 = 2PQ, q.e.d.
"medianele = segment varf-mijloc latura opusa'' intr-un paralelogram taie diagonala in 3 parti egale.
Apoi fie DB = 3x. Rezulta EF = 3x/2 (1), deoarece este linie mijlocie.
Din asemanarea FDG cu GPB rezulta DF/PB = DG/GB = 2x/x = 2, deci PB = 1/4 CB, rezulta PQ/DB = 3/4, deci PQ = 9x/4 (2).
Din (1) si (2) rezulta 3EF = 9x/2 = 2PQ, q.e.d.
-
moldovan ana
- Pitagora
- Posts: 54
- Joined: Wed Sep 23, 2009 4:10 pm
Fie k = BE/BA raportul de asemanare; vom urmari cum se transmite acesta pe diagonala DB apoi pe latura AD si apoi pe latura BC.Virgil Nicula wrote:Generalizare. Se considera paralelogramul \( ABCD \), punctele \( E\in (AB) \) si \( F\in (AD) \) astfel incat \( EF\parallel BD \), \( G\in CE\cap BD \), \( H\in CF\cap BD \), \( P\in FG\cap BC \), \( Q\in EH\cap CD \). Aratati ca \( \underline {\overline{\left\|\ \frac {PQ}{EF}=1+\frac {BE}{BA}\ \right\|}} \).
Pt. usurinta urmaririi notam BE = x si EA = y; deci k = x/x+y; AF = a; FD = b, deci k = b/b+a si BP = m si PC = n.
Rezulta repede ca FE = (1-k)BD (1)
Avem asemanarile BEG ~ DCG => BE/DC = x/x+y = k = GB/GD
FDG ~ PBG => k = GB/GD = m/x = (m/BC)(AD/x) = (m/BC)/k
Deci k^2 = m/BC => n/BC = 1-k^2 = PQ/DB, deci PQ = (1-k^2)DB (2)
Din (1) si (2) rezulta PQ/FE = (1-k^2)/(1-k) = 1+k = 1 + BE/BA, q.e.d.