Inegalitate cu medii

[Marius Mainea]

Daca \( x_1 ,x_2 ,x_3 ..... x_n \) sunt numere pozitive atunci:

\( x_1+x_2+.....+x_n+\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}\ge (n+1)\sqrt[n]{x_1\cdot x_2....\cdot x_n} \)

MR , 6/2008

[opincariumihai]

Observ ca ati gasit o solutie foarte eleganta domnule Mainea ! Este vorba de solutia publicata aici , problema S 103.
Mai ramane insa de justificat (la fel de elegant) de ce are loc inegalitatea :
\( \frac{ \sum x_1...x_{n-1}}{n} \leq \( \frac{ x_1+...+x_n}{n}\)^{n-1} \)(*)

[Marius Mainea]

Este inegalitatea Maclaurin:

Daca \( a_1,a_2...a_n \) sunt nenegative si\( S_k=\sqrt[k]{\frac{\sum a_1a_2...a_k}{C_n^k}} \) atunci \( S_1\ge S_2\ge...\ge S_n \).

[opincariumihai]

Alta mod pentru a justifica faptul ca \( \frac{ \sum x_1...x_{n-1}}{n} \leq \( \frac{ x_1+...+x_n}{n}\)^{n-1} \) ar fi sa folosim metoda lui Sturm.
Pentru suma constanta, membrul stang devine mai mare pentru \( x_1=x_2 \) etc.