Fie \( a,b,c\in (0,1) \) sau \( a,b,c\in (1,\infty) \). Sa se demonstreze inegalitatea:
\( \log_{(a^2b)}a+\log_{(b^2c)}b+\log_{(c^2a)}c\leq \log_{(ab^2)}a+ \log_{(bc^2)}b+ \log_{(ca^2)}c. \)
Inegalitate cu logaritmi, GM nr 10/2007
Moderators: Filip Chindea, Andrei Velicu, Radu Titiu
Inegalitate cu logaritmi, GM nr 10/2007
Vrajitoarea Andrei
Logaritmam intr-o baza oarecare \( p \) situata in acelasi interval cu \( a,b,c \) si notam \( \log_{p}a = x \), \( \log_{p}b = y \) si \( \log_{p}c=z \), unde \( x,y,z >0 \).
Inegalitatea din enunt devine:
\( \frac{x}{2x+y} + \frac{y}{2y+z} + \frac{z}{2z+x} \leq \frac{x}{x+2y} + \frac{y}{y+2z} + \frac{z}{z+2x}. \)
Demonstram prima data ca:
\( \frac{x}{2x+y} + \frac{y}{2y+z} + \frac{z}{2z+x} \leq 1 \) \( (*) \).
Aducem la acelasi numitor si se ajunge la:
\( 3xyz \leq xy^2 + yz^2 +zx^2 \), adevarata din inegalitatea mediilor.
Pe aceeasi idee se demonstreaza ca:
\( \frac{x}{x+2y} + \frac{y}{y+2z} + \frac{z}{z+2x} \geq 1. \) \( (**) \) (Se aduce la acelasi numitor.)
Atunci din \( (*) \) si \( (**) \) avem ca \( \frac{x}{2x+y} + \frac{y}{2y+z} + \frac{z}{2z+x} \leq \frac{x}{x+2y} + \frac{y}{y+2z} + \frac{z}{z+2x} \), care este echivalenta cu inegalitatea din enunt.
Inegalitatea din enunt devine:
\( \frac{x}{2x+y} + \frac{y}{2y+z} + \frac{z}{2z+x} \leq \frac{x}{x+2y} + \frac{y}{y+2z} + \frac{z}{z+2x}. \)
Demonstram prima data ca:
\( \frac{x}{2x+y} + \frac{y}{2y+z} + \frac{z}{2z+x} \leq 1 \) \( (*) \).
Aducem la acelasi numitor si se ajunge la:
\( 3xyz \leq xy^2 + yz^2 +zx^2 \), adevarata din inegalitatea mediilor.
Pe aceeasi idee se demonstreaza ca:
\( \frac{x}{x+2y} + \frac{y}{y+2z} + \frac{z}{z+2x} \geq 1. \) \( (**) \) (Se aduce la acelasi numitor.)
Atunci din \( (*) \) si \( (**) \) avem ca \( \frac{x}{2x+y} + \frac{y}{2y+z} + \frac{z}{2z+x} \leq \frac{x}{x+2y} + \frac{y}{y+2z} + \frac{z}{z+2x} \), care este echivalenta cu inegalitatea din enunt.