O relatie metrica simpla intr-un triunghi.

[Virgil Nicula]

Fie \( ABC \) un triunghi inscris in cercul \( w \). Notam \( P\in AA\cap CC \) si \( \{B,D\} = PB\cap w \). Sa se arate ca exista relatia \( \frac {DB}{DC} = 2\frac {AB}{AC} \).

NOTATIE. Pentru punctul \( X\in w \) am notat prin \( XX \) tangenta in punctul \( X \) la cercul \( w \).

[Marius Mainea]

Folosind teorema lui Ptolemeu \( BD\cdot b=AD\cdot a+DC\cdot c \) (1)

Insa din asemanarea triunghiurilor APD si BPA \( \frac{AD}{c}=\frac{AP}{BP} \) (2) ,

iar din asemanarea triunghiurilor CPD si BPC \( \frac{DC}{a}=\frac{PC}{BP} \) (3)

Din (1) , (2) si (3) rezulta concluzia.