Se stie ca daca \( X \) este o varietate algebrica completa peste un corp algebrica inchis \( k \), atunci pentru orice fascicol coerent \( \mathcal F \) pe \( X \), \( dim_kH^i(X,\mathcal F)<\infty\ \forall i \).
Sa se demonstreze ca o varietate algebrica pentru care orice fascicol coerent are coomologie finita in orice grad este completa.
Reciproca unui rezultat de finitudine a coomologiei
Moderator: Mihai Fulger
-
Mihai Fulger
- Pitagora
- Posts: 61
- Joined: Tue Nov 06, 2007 4:24 am
- Location: Ann Arbor, Michigan
-
Alexandru Chirvasitu
- Euclid
- Posts: 47
- Joined: Sat Oct 06, 2007 4:53 pm
Facem inductie dupa dimensiunea lui \( X \).
Cand dimensiunea e zero, nu e nimic de aratat. Cand e \( 1 \), daca \( X \) nu e completa atunci e o curba afina, si \( H^0(X,\mathcal{O}_X) \), inelul de coordonate al lui \( X \), deja e \( k \)-spatiu infinit dimensional.
Presupunem acum dimensiunea lui \( X \) cel putin \( 2 \), si fie \( Y \) o varietate completa care contine pe \( X \) ca deschis dens (o teorema a lui Nagata afirma ca o asemenea varietate exista mereu). Daca \( X \) e submultime proprie a lui \( Y \), atunci exista o subvarietate inchisa proprie \( Z \) a lui \( Y \) care intersecteaza atat \( X \) cat si \( Y\setminus X \) (un exercitiu usor de algebra comutativa, dupa ce reduc problema la un deschis afin convenabil). Acum se poate folosi ipoteza de inductie: \( Z\cap X \) e inchisa in \( X \), si de dimensiune strict mai mica; daca \( i:Z\cap X\to X \) e incluziunea, atunci pentru orice fascicol coerent \( \mathcal F \) pe \( Z\cap X \) fascicolul \( i_*\mathcal F \) e coerent pe \( X \), si grupurile de coomologie \( H^i(Z\cap X,\mathcal{F}),\ H^i(X,i_*\mathcal{F}) \) sunt izomorfe. Asta inseamna ca ipotezele initiale au loc pentru \( Z\cap X \), ceea ce, prin ipoteza de inductie, contrazice faptul ca \( Z\cap X \) e deschis dens propriu in varietatea completa \( Z \).
P.S.
Se pare ca e suficient sa presupunem ca \( \dim_k\Gamma(X,\mathcal{F})<\infty \) pentru orice fascicol coerent \( \mathcal F \), adica sa luam in considerare doar grupurile de coomologie \( H^0 \).
Cand dimensiunea e zero, nu e nimic de aratat. Cand e \( 1 \), daca \( X \) nu e completa atunci e o curba afina, si \( H^0(X,\mathcal{O}_X) \), inelul de coordonate al lui \( X \), deja e \( k \)-spatiu infinit dimensional.
Presupunem acum dimensiunea lui \( X \) cel putin \( 2 \), si fie \( Y \) o varietate completa care contine pe \( X \) ca deschis dens (o teorema a lui Nagata afirma ca o asemenea varietate exista mereu). Daca \( X \) e submultime proprie a lui \( Y \), atunci exista o subvarietate inchisa proprie \( Z \) a lui \( Y \) care intersecteaza atat \( X \) cat si \( Y\setminus X \) (un exercitiu usor de algebra comutativa, dupa ce reduc problema la un deschis afin convenabil). Acum se poate folosi ipoteza de inductie: \( Z\cap X \) e inchisa in \( X \), si de dimensiune strict mai mica; daca \( i:Z\cap X\to X \) e incluziunea, atunci pentru orice fascicol coerent \( \mathcal F \) pe \( Z\cap X \) fascicolul \( i_*\mathcal F \) e coerent pe \( X \), si grupurile de coomologie \( H^i(Z\cap X,\mathcal{F}),\ H^i(X,i_*\mathcal{F}) \) sunt izomorfe. Asta inseamna ca ipotezele initiale au loc pentru \( Z\cap X \), ceea ce, prin ipoteza de inductie, contrazice faptul ca \( Z\cap X \) e deschis dens propriu in varietatea completa \( Z \).
P.S.
Se pare ca e suficient sa presupunem ca \( \dim_k\Gamma(X,\mathcal{F})<\infty \) pentru orice fascicol coerent \( \mathcal F \), adica sa luam in considerare doar grupurile de coomologie \( H^0 \).
-
Mihai Fulger
- Pitagora
- Posts: 61
- Joined: Tue Nov 06, 2007 4:24 am
- Location: Ann Arbor, Michigan
Solutia pe care o stiu pentru problema asta foloseste de asemenea numai \( H^0 \) si e cam asa:
Daca X contine curbe (inchise in X) neproiective, atunci cum orice curba neproiectiva este afina, iar incluziunea curbei in X este aplicatie proprie, putem impinge fascicolul de functii regulate de pe curba pe X, iar sectiunile globale are fascicolului structural al unei curbe afine nu este un spatiu finit dimensional si gata. Daca X contine numai curbe complete, atunci o variatie a criteriului valuativ de completitudine spune ca X este completa.
Daca X contine curbe (inchise in X) neproiective, atunci cum orice curba neproiectiva este afina, iar incluziunea curbei in X este aplicatie proprie, putem impinge fascicolul de functii regulate de pe curba pe X, iar sectiunile globale are fascicolului structural al unei curbe afine nu este un spatiu finit dimensional si gata. Daca X contine numai curbe complete, atunci o variatie a criteriului valuativ de completitudine spune ca X este completa.