Demonstrati ca daca \( 0<a,b,c,d,e\le1 \), atunci \( \frac{1}{a+b+c+d+e}\ge \frac{1}{5}+(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)(1-e). \)
Marin Chirciu
Concursul GM, ziua 2, problema 3
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Laurentiu Tucaa
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:22 pm
- Location: Pitesti
-
Laurentiu Tucaa
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:22 pm
- Location: Pitesti
Solutia mea din concurs:
Sunt evidente cazurile in care \( a=b=c=d=e=1 \) sau in care unul din \( a,b,c,d,e \) este 1. Deci ramane de analizat cazul \( a,b,c,d,e\in (0,1) \). Notez \( S=a+b+c+d+e \). Consider functia \( f:\(0,1\)\rightarrow\mathbb{R},f(x)=\ln(1-x) \). Functia este derivabila de 2 ori (chiar de n ori) iar \( f^{(2)}(x)=\frac{-1}{(1-x)^2}<0 \). Rezulta f concava, deci \( f(a)+f(b)+f(c)+f(d)+f(e)\le 5ln(1-\frac{S}{5}) \).
Ramane de demonstrat ca \( (1-\frac{S}{5})^5\le \frac{1}{S}-\frac{1}{5} \) care este echivalenta cu \( S(5-S)^4\le 5^4 \) si care se dem. considerand functia \( g:\(0,5\)\rightarrow\mathbb{R},g(x)=x(5-x)^4 \), al carei punct de maxim este 1 iar valoare in acest punct a functiei este \( 4^4<5^4 \). De aici rezulta concluzia.
Sunt evidente cazurile in care \( a=b=c=d=e=1 \) sau in care unul din \( a,b,c,d,e \) este 1. Deci ramane de analizat cazul \( a,b,c,d,e\in (0,1) \). Notez \( S=a+b+c+d+e \). Consider functia \( f:\(0,1\)\rightarrow\mathbb{R},f(x)=\ln(1-x) \). Functia este derivabila de 2 ori (chiar de n ori) iar \( f^{(2)}(x)=\frac{-1}{(1-x)^2}<0 \). Rezulta f concava, deci \( f(a)+f(b)+f(c)+f(d)+f(e)\le 5ln(1-\frac{S}{5}) \).
Ramane de demonstrat ca \( (1-\frac{S}{5})^5\le \frac{1}{S}-\frac{1}{5} \) care este echivalenta cu \( S(5-S)^4\le 5^4 \) si care se dem. considerand functia \( g:\(0,5\)\rightarrow\mathbb{R},g(x)=x(5-x)^4 \), al carei punct de maxim este 1 iar valoare in acest punct a functiei este \( 4^4<5^4 \). De aici rezulta concluzia.