Exista vreun \( n>1 \) pentru care reuniunea a \( n \) drepte disjuncte in \( \mathbb{P}^3 \) este intersectie completa (intersectia ca schema a doua hipersuprafete)?
HINT: Daca nu ma insel, atunci NU.
Intersectie completa ?
Moderator: Mihai Fulger
-
Mihai Fulger
- Pitagora
- Posts: 61
- Joined: Tue Nov 06, 2007 4:24 am
- Location: Ann Arbor, Michigan
Daca intersectia a doua hipersuprafete de grade \( d_1,d_2 \) este o reuniune disjuncta de \( n \) drepte, atunci din exactitatea complexului Koszul
\( 0\to\mathcal{O}_P(-d_1-d_2)\to\mathcal{O}_P(-d_1)\oplus\mathcal{O}_P(-d_2)\to\mathcal{O}_P\to\bigoplus_{i=1}^n\mathcal{O}_{L_i}\to 0 \)
(unde \( P=\mathbb{P}^3 \), iar \( L_i \) sunt cele \( n \) drepte) si din identitatea de polinoame Hilbert corespunzatoare rezulta imediat ca \( d_1d_2=n \) si \( d_1d_2(2-(d_1+d_2)/2)=n \), deci \( d_1=d_2=n=1 \). Sau direct, luand sectiuni globale si tinand cont ca \( H^1,H^2 \) se anuleaza pentru twisturile lui \( \mathcal{O}_P \) se obtine un sir exact \( 0\to k\to k^n\to 0 \), deci \( n=1 \).
\( 0\to\mathcal{O}_P(-d_1-d_2)\to\mathcal{O}_P(-d_1)\oplus\mathcal{O}_P(-d_2)\to\mathcal{O}_P\to\bigoplus_{i=1}^n\mathcal{O}_{L_i}\to 0 \)
(unde \( P=\mathbb{P}^3 \), iar \( L_i \) sunt cele \( n \) drepte) si din identitatea de polinoame Hilbert corespunzatoare rezulta imediat ca \( d_1d_2=n \) si \( d_1d_2(2-(d_1+d_2)/2)=n \), deci \( d_1=d_2=n=1 \). Sau direct, luand sectiuni globale si tinand cont ca \( H^1,H^2 \) se anuleaza pentru twisturile lui \( \mathcal{O}_P \) se obtine un sir exact \( 0\to k\to k^n\to 0 \), deci \( n=1 \).