Ecuatie cu parte intreaga

[Marius Mainea]

a) Fie\( a\in\mathbb{Q}^* \). Stiind ca \( a+\frac{1}{a}\in\mathbb{Z} \), sa se arate ca a =1 sau a = -1.
b) Sa se rezolve ecuatia \( \[\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\]=\frac{x^2}{y}+\frac{y}{x^2} \), unde \( x,y\in\mathbb{Z}^* \). (Cu [a] s-a notat partea intreaga a lui a).

RMT

[Antonache Emanuel]

a) O faci usor cu divizibilitate: \( \frac{a^2+1}{a} \) si vezi ca a divide pe \( a^2+1 \) si a se divide si cu el insusi, adica si cu patratul lui; faci diferenta dintre \( a^2+1 \) si \( a^2 \) si iti da ca a divide 1, adica a e 1 sau -1.
b) Notezi \( a= \) \( \frac{x}{y} \), apoi vezi ca \( \frac{x^2}{y} \)+\( \frac{y}{x^2} \) este de fapt \( ax \)+\( \frac{1}{ax} \), iar cum acesta este intreg, rezulta ca ax este 1 sau -1.
Daca ax=1 rezulta ca \( x^2=y \) si ne da ca \( [\frac{1}{x}-x]=2 \), de unde x este -3, iar y este 9.
Daca ax=-1 rezulta ca \( -x^2=y \) si ne da ca \( [-\frac{1}{x}+x]=-2 \), de unde x=-3 si y=-9. Acestea doua sunt solutiile.

[Beniamin Bogosel]

\( a \) este ratonal, nu intreg !!! Nu poti zice ca \( a \) divide ceva. Se face tot cu divizibilitate, dar mai intai notezi \( a=\frac{m}{n} \) unde \( m,n \) sunt prime intre ele si intregi.

[Laurian Filip]

a) \( a+\frac{1}{a}=n \)
\( a^2-na+1=0 \)
\( \Delta=n^2-4 \)
Cum delta e natural, radical din delta e rational daca si numai daca delta e patrat perfect. Observam ca singura solutie este \( det{n}=2 \), de unde singurele solutii sunt \( a\in \{-1,1 \} \)

b) Din punctul a), \( x^2=y \) sau \( x^2=-y \)

Daca \( y=x^2 \)
\( \[ \frac{1}{x}-x \]=2 \)
\( \[ \frac{1}{x}\] - \[x \]=2 \)
\( \to \ (x,y)=(-3,9) \)

Daca \( -y=x^2 \)
Analog \( (x,y)=(-3,-9) \)