Concurenta intr-un patrulater circumscriptibil

[Mateescu Constantin]

Fie \( ABCD \) un patrulater convex circumscris unui cerc si \( P,\ Q,\ R,\ S \) punctele de tangenta ale patrulaterului cu cercul, \( P\in (AB),\ Q\in (BC),\ R\in (CD),\ S\in (DA). \)
Sa se arate ca dreptele \( AC,\ BD,\ PR,\ QS \) sunt concurente.

[Marius Mainea]

Aratam ca AC , PR si QS sunt concurente.

Fie \( \{X\}=AC\cap QS \) si \( \{Y\}=AC\cap PR \)

Din teorema sinusurilor in triunghiurile ASX si CQX avem

\( \frac{AX}{\sin \angle S}=\frac{AS}{\sin \angle X} \) si \( \frac{CX}{\sin \angle Q}=\frac{CQ}{\sin \angle X} \) deci \( \frac{AX}{CX}=\frac{AS}{CQ} \) (1)

Analog din triunghiurile APY si CRY obtinem \( \frac{AY}{CY}=\frac{AP}{CR} \) (2)

Din (1) si (2) rezulta ca \( \frac{AX}{CX}=\frac{AY}{CY} \) de unde X=Y.

Analog se arata ca BD , PR si QS sunt concurente si apoi concluzia problemei.

[mihai miculita]

Alte proprietati gasiti ale patrulaterelor circumscriptibile gasiti aici:
http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf