Fie \( a,b,c \) trei numere pozitive satisfacand abc=1 . Sa se demonstreze ca :
\( \frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[5]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \)
Inegalitate conditionata cu produsul variabilelor egal cu 1
Moderators: Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Filip Chindea
Inegalitate conditionata cu produsul variabilelor egal cu 1
. A snake that slithers on the ground can only dream of flying through the air.
-
Mateescu Constantin
- Newton
- Posts: 307
- Joined: Tue Apr 21, 2009 8:17 am
- Location: Pitesti
Sa aratam mai intai inegalitatea:
\( (a+b+c)^6\ge 27(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2) \ (1) \)
Notam cu \( S=a+b+c \) si \( Q=ab+bc+ca \)
\( \Longrightarrow (a+b+c)^6-27(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)=S^6-27Q^2(S^2-2Q)=(S^2-3Q)^2(S^2+6Q)\ge 0 \)
Pe de alta este adevarata si inegalitatea:
\( (ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c) \ (2) \), deoarece se scrie \( \sum a^2(b-c)^2\ge 0 \)
Din \( (1) \) si \( (2) \) \( \Longrightarrow (a+b+c)^6\ge 27\cdot 3abc(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \)
\( \Longleftrightarrow (a+b+c)^5\ge 81abc(a^2+b^2+c^2)=81(a^2+b^2+c^2) \), care este echivalenta cu inegalitatea din enunt.
\( (a+b+c)^6\ge 27(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2) \ (1) \)
Notam cu \( S=a+b+c \) si \( Q=ab+bc+ca \)
\( \Longrightarrow (a+b+c)^6-27(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)=S^6-27Q^2(S^2-2Q)=(S^2-3Q)^2(S^2+6Q)\ge 0 \)
Pe de alta este adevarata si inegalitatea:
\( (ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c) \ (2) \), deoarece se scrie \( \sum a^2(b-c)^2\ge 0 \)
Din \( (1) \) si \( (2) \) \( \Longrightarrow (a+b+c)^6\ge 27\cdot 3abc(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \)
\( \Longleftrightarrow (a+b+c)^5\ge 81abc(a^2+b^2+c^2)=81(a^2+b^2+c^2) \), care este echivalenta cu inegalitatea din enunt.