Fie paralelogramul ABCD. Prelungim [AB] cu [BE]≡[AD] si pe [AD] cu [DF]≡[AB]. Demonstrati ca:
a) E-C-F.
b) triunghiul EAF este isoscel.
O problema grea!
O problema grea!
Appearances can be deceiving!
-
Andi Brojbeanu
- Bernoulli
- Posts: 294
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:31 pm
- Location: Targoviste (Dambovita)
a)\( ABCD \) paralelogram \( \Rightarrow AB=DC \). Din ipoteza avem ca \( AB=DF\Rightarrow DC=DF\Rightarrow \widehat{DFC}\equiv\widehat{DCF} \).
Dar \( \widehat{ADC} \) este unghi exterior \( \bigtriangleup{DFC}\Rightarrow m(\widehat{ADC})=2\cdot m(\widehat{DCF}). \)
Analog, se arata ca \( m(\widehat{ABC})=2\cdot m(\widehat{BCE}). \)
Dar \( m(\widehat{ADC})=m(\widehat{ABC}). \)
Atunci \( m(\widehat{BCD})+m(\widehat{DCF})+m(\widehat{BCE})=m(\widehat{DCB})+\frac{m(\widehat{ADC})}{2}+\frac{m(\widehat{ABC})}{2}=m(\widehat{DCB})+\frac{m(\widehat{ABC})}{2}+\frac{m(\widehat{ABC})}{2}=m(\widehat{DCB})+m(\widehat{ABC})=180\textdegree\Rightarrow E, C, F \) coliniare.
b) Adunand relatiile \( BE=AD \) si \( DF=AB \), obtinem \( AE=AF\Rightarrow \bigtriangleup {EAF} \) isoscel.
Dar \( \widehat{ADC} \) este unghi exterior \( \bigtriangleup{DFC}\Rightarrow m(\widehat{ADC})=2\cdot m(\widehat{DCF}). \)
Analog, se arata ca \( m(\widehat{ABC})=2\cdot m(\widehat{BCE}). \)
Dar \( m(\widehat{ADC})=m(\widehat{ABC}). \)
Atunci \( m(\widehat{BCD})+m(\widehat{DCF})+m(\widehat{BCE})=m(\widehat{DCB})+\frac{m(\widehat{ADC})}{2}+\frac{m(\widehat{ABC})}{2}=m(\widehat{DCB})+\frac{m(\widehat{ABC})}{2}+\frac{m(\widehat{ABC})}{2}=m(\widehat{DCB})+m(\widehat{ABC})=180\textdegree\Rightarrow E, C, F \) coliniare.
b) Adunand relatiile \( BE=AD \) si \( DF=AB \), obtinem \( AE=AF\Rightarrow \bigtriangleup {EAF} \) isoscel.
-
Virgil Nicula
- Euler
- Posts: 622
- Joined: Fri Sep 28, 2007 11:23 pm
George93 (banuiesc ca anul asta implinesti 16 ani !), cred ca solutia din postul precedent te-a convins ce putine lucruri stii tu din geometrie daca problema asta este "grea". Multumeste-i lui A.B. si pentru rabdarea de a redacta atat de limpede o solutie pe care in mod firesc trebuia sa o gasesti singur. Treci rapid pe studiu individual cu manualul si o culegere buna de probleme in fata. Daca nu reusesti singur sa rezolvi o problema in cel putin un sfert de ora, atunci citeste cu rabdare, cu creionul in mana solutia oferita din manual/culegere. Daca nici dupa un asemenea efort nu te descurci sau nu ai inteles solutia respectiva, abia atunci vei lansa un SOS in clasa, la profesor sau de ce nu si aici. Daca astepti ca altii sa-ti rezolve asemenea probleme fara a incerca singur sa o faci, nu ai sa inveti niciodata matematica.