O.VII.31

[Andi Brojbeanu]

Fie \( ABCD \) un patrulater convex, iar \( M \) un punct oarecare pe diagonala \( AC \). Paralela prin \( M \) la \( BC \) intersecteaza \( AB \) in \( P \), iar paralela prin \( M \) la \( AD \) intersecteaza \( DC \) in \( Q \). Demonstati ca mijloacele segmentelor \( [AD], [PQ] \) si \( [BC] \) sunt coliniare.

Probleme date la olimpiade, RMT 1/1998

[Virgil Nicula]

Fie \( ABCD \) un patrulater convex si un punct mobil \( M\in [AC] \). Notam \( \left\|\ \begin{array}{c}
P\in [AB]\ ,\ MP\parallel BC\\\\\\\\
Q\in [CD]\ ,\ MQ\parallel AD\end{array}\ \right\| \) .
Gasiti locul geometric al mijlocului \( L \) al segmentului \( [PQ] \).

(Probleme date la olimpiade, RMT 1/1998).

Demonstratie. Se observa ca \( \frac {PA}{PB}=\frac {MA}{MC}=\frac {QD}{QC} \) . Mijloacele \( E \) , \( F \) ale segmentelor \( [AD] \) , \( [BC] \) respectiv sunt puncte fixe si apartin locului geometric cautat. Notam \( \left\|\begin{array}{c}
N_1\in BD\ , PN\parallel AD\\\\\\\\
N_2\in BD\ ,\ QN_2\parallel BC\end{array}\right\| \) . Deoarece \( \frac {N_1D}{N_1B}=\frac {PA}{PB}=\frac {QD}{QC}=\frac {N_2D}{N_2B} \) rezulta \( N_1\equiv N_2\equiv N \) . Notam mijloacele \( U \) , \( V \) ale segmentelor \( [PN] \) , \( [QM] \) respectiv. Se arata usor ca \( U\in XB \) , \( V\in CX \) , \( L\in UV\cap PQ \) , \( UV\parallel BC \) si \( LU=LV \) . In concluzie, \( L\in XY \) .

Remarca. Problema propusa este clasica. Se poate arata asemanator in general ca daca punctul \( M \) parcurge dreapta suport a diagonalei \( [AC] \), atunci locul geometric cautat este dreapta suport a bimedianei \( [XY] \). Problema propusa se poate rezolva foarte usor vectorial, insa suntem la clasa a VII - a ... Incercati totusi cei care stiti sau sunteti in clasa a IX -a.