Fractia este numar natural

[alex2008]

Demonstrati ca daca \( a \in \mathb{N}^* \)este cifra diferita de 9, atunci numarul \( \frac{\overline{a,(a)}+\overline{0,(a)}}{\overline{0,0(a)}+\overline{0,a(a)}} \) este numar natural.

[Andi Brojbeanu]

\( \frac{\overline{a,(a)}+\overline{0,(a)}}{\overline{0,0(a)+\overline{0,a(a)}} \)\( =\frac{\frac{11a-a+a}{9}}{\frac{a+11a-a}{90}} \)\( =\frac{11a}{9}\cdot \frac{90}{11a}=\frac{90}{9}=10. \)
Daca \( a=9 \), atunci, de exemplu numarul \( \overline{a,(a)} \) ar fi egal cu \( {9,(9)} \), imposibil deoarece nu exista perioada 9.