Concursul "Grigore Moisil", Satu-Mare, 3-5 aprilie

[mihai miculita]

Problema 1
Multimea numerelor naturale se imparte in submultimi astfel: {0}; {1,2}; {3,4,5}; {6,7,8,9}; ...,
unde prima submultime contine primul numar natural, a doua contine urmatoarele doua numere naturale s.a.m.d.
Determinati:
a) Cu ce numar natural incepe cea de-a 50-a submultime;
b) Suma elementelor celei de a 50-a submultimi;
c) Suma elementelor primelor 50 de submultimi. (Nicolae Baciu)

Problema 2
Aflati numerele naturale m si n pentru care numarul \( 5^m+6^n+2 \) este un patrat perfect. (Maria Mihet)

Problema 3
Sa se arate ca nu exista \( n\in\mathbb{N} \) astfel incat: \( 1+2+3\dots+n=\overline{aaaa}. \)(Vasile Serdean)

Problema 4
Se considera multimea: A={1,2,3,4,...,2010,2011}.
Inlocuim fiecare doua elemente din multime cu diferenta dintre cel mai mare si cel mai mic dintre ele, pana cand multimea contine un singur element.
Ce paritate are acest ultim element? Justificati. (Vasile Serdean si Alexandru Blaga)

[Aelius Pop]

Problema 2
I Rezolvare pt clasa a 5-a
Observam ca \( 5^m \) are ultima cifra 5, sau 1 daca m=0.
\( 6^n \) are ultima cifra 6, sau 1 daca n=0.
Atunci daca m, n>0 => U.C.(\( 5^m+6^n+2 \))=5+6+2=8.
Dar un patrat perfect se termina in cifrele 0, 1, 4, 5, 6 sau 9, deci nu poate fi patrat perfect.
Pentru m=n=0 avem U.C.(1+1+2)=4, deci convine.
Pentru m=0 atunci U.C.(1+6+2)=9 => n=1 convine. Pt n>1 avem ca suma este multiplu de 9 +3 deci nu este patrat perfect.

n=0 => U.C.(\( 5^m+6^n+2) \) este 8; nu convine.

S={(0,0),(0,1)}

II Solutie pt liceu
Aplicam congruenta modulo 5 si binomul lui Newton.

[Aelius Pop]

Problema 3:
Sa se arate ca nu exista \( n\in\mathbb{N} \) astfel incat:\( 1+2+3\dots+n=\overline{aaaa} \).(Vasile Serdean)


Suma \( 1+2+3+...+n=\frac {n(n+1)}{2} \)

\( \frac {n(n+1)}{2}=\overline{aaaa} \)
\( n(n+1)=2\overline{aaaa} \)
\( n(n+1)=2 \cdot 11 \cdot 101 \cdot a \)
101 este prim deci n sau (n+1) este multiplu de 101
11 este prim deci n sau (n+1) este multiplu de 11
a este cifra deci vom lua \( 2\cdot 11\cdot a \) si 101
\( a\cdot 22=100 \) sau \( a\cdot 22=102 \)
Fals deoarece 100 si 102 nu se divid cu 22.

[Cioba Catalin]

Multimea numerelor naturale se imparte in submultimi astfel: {0}; {1,2}; {3,4,5}; {6,7,8,9}; ...,
unde prima submultime contine primul numar natural, a doua contine urmatoarele doua numere naturale s.a.m.d.
Determinati:
a). Cu ce numar natural incepe cea de-a 50-a submultime;
b). Suma elementelor celei de a 50-a submultimi;
c). Suma elementelor primelor 50 de submultimi.

SOLUTIE: Incercam sa mai scriem primele 6 submultimi:

I {0}
II {1,2}
III {3,4,5}
IV {6,7,8,9}
V {10,11,12,13,14}
VI {15,16,17,18,19,20}

Si observam ca primul element din submultimea III este suma numerelor grupelor din urma, analog pentru grupa IV si V.
Deci primul element din grupa n este \( 1+2+3+...+(n-1)} \) adica \( \frac{n \cdot (n-1)}{2} \)

Pentru a afla primul element din grupa a 50-a vom lua cazul n=50 deci numarul cautat este \( \frac {50 \cdot 49}{2} \) adica \( 25 \cdot 49=1225 \)

b) Stim din ipoteza ca grupa n contine n numere consecutive. Deci grupa 50 este :
{1225,1226,1227,...,1274} iar suma grupei este :
\( 1225+1226+1227+...+1274 = 1225+(1225+1)+(1225+2)+...+(1225+49) \)
\( = 1225 \cdot 50 +1+2+3+...+49 \)
\( = 1225 \cdot 50 +25 \cdot 49 \)
\( = 6250+1225 \)
\( = 7475 \)

c) \( 1+2+3+4+...+1274=\frac{1274 \cdot 1275}{2} \)
=\( 1275 \cdot 637 \)
=\( 812175 \)

[Andi Brojbeanu]

b)\( 1225\cdot 50+25\cdot 49=61250+1225=62475 \)