JBTST I 2007, problema 1

[Laurian Filip]

Se considera numerele intregi a si b. Sa se arate ca exista si sunt unice numerele intregi x,y astfel incat

\( (x+2y-a)^{2}+(2x-y-b)^{2}\leq 1. \)

[Marius Mainea]

Avem urmatoarele posibilitati: \( (x+2y-a)=\pm1, \ (2x-y-b)=0 \) sau invers, respectiv ambele egale cu 0.
Analizind fiecare caz in parte avem: \( 5x=a+2b\pm1,\ \ sau \ \ 5x=a+2b\pm2,\ \ sau \ \5x=a+2b \) iar \( 5y=2a-b\pm1\pm2,0 \).

Cand a, b sunt intregi unul si numai unul din cazurile de mai sus are loc pentru x, y intregi, deci inecuatia are solutie unica in Z.

[Aelius Pop]

Consideram cercul cu centrul in (a;b) de raza 1. Oricum am calcula vom observa ca e imposibil sa avem puncte de forma (x+2y;2x-y) in interiorul cercului. q.e.d.