Baraje 2009 Problema 3

[Aelius Pop]

Fie A o multime finita de nr reale strict pozitive cu proprietatea ca pentru orice nr real \( a>0 \) multimile \( \lbrace x \in A|x>a\rbrace \) si \( \lbrace x \in A|x<\frac{1}{a}\rbrace \) au cardinalele de aceeasi paritate. Sa se arate ca produsul elementelor multimii A este 1.

[Laurian Filip]

A este o multime finita deci exista M si m, maximul, respectiv minimul element din A.

Presupunem prin absurd ca \( M<\frac{1}{m} \) \( \to \) \( m > \frac{1}{M} \)
fie \( k > 0 \) a.i. \( m=\frac{1}{M}+k \)

fie \( y_n=M-\frac{1}{n} \)
Deoarece multimea este finita, si \( \lim_{n\to \infty}y_n=M \), exista un rang r astfel incat \( \forall n \geq r \) toate elementele din A in afara de M sunt mai mici decat \( y_n \)
deci pentru n mai mare decat acel rang, cardinalul lui \( \lbrace x \in A | x> y_n } \) este egal cu 1, asa ca cardinalul lui \( \lbrace x \in A | x< \frac {1}{y_n}} \) este impar deci nu poate fi nul.
Vom arata ca exista \( n_0>r \) astfel incat \( \frac{1}{y_{n_0}} < m \)

Presupunem ca nu exista.
\( \frac{1}{M-\frac{1}{n}} \geq m=\frac{1}{M}+k \)
\( \frac{1}{1-\frac{1}{Mn}} \geq 1+kM \)
\( 1 \geq 1-\frac{k}{n}-\frac{1}{Mn}+kM \)
\( k+M \geq nkM \)
\( \frac{k+M}{kM} \geq n \)

Contradictie, nu avem conditie de marginire pt n, deci exista \( n_0>r \) astfel incat \( \frac{1}{y_{n_0}} < m \)

Pentru \( a=y_{n_0} \) una dintre multimi are cardinalul 1 iar cealalta are cardinalul 0.

Analog presupunem \( M> \frac{1}{m} \)
\( m=\frac{1}{M}+k \)
si ajungem la aceeasi contradictie.

Asadar \( M=\frac{1}{m}\to mM=1 \). Luand maximul si minimul multimii ramase ajungem ca si acelea inmultite au produsul 1.
Daca A are cardinalul par, ajungem la concluzia ca produsul e 1. Daca are are cardinalul impar, repetam procesul pana ajungem la 1 singur element. Inseamna ca celelelalte sunt jumate subunitar si jumate supraunitare. Luam a=1, si avem ca elementul ramas e egal cu 1.

[Aelius Pop]

Multumesc

[Beniamin Bogosel]

Definim functiile \( f,g : [1,\infty)\to \mathbb{N} \), \( f(x)=card\{y \in A | y>x\},\ g(x)=card\{y \in A | y<\frac{1}{x}\} \).

Din ipoteza \( f(x) \equiv g(x) (mod\ 2) \). Prin urmare, atunci cand i se modifica paritatea lui \( f(x) \) trebuie sa i se modifice si paritatea lui \( g(x) \). Adica daca \( a \in A \) rezulta ca si \( \frac{1}{a} \in A \). Deci produsul elementelor din \( A \) este 1.

(P.S. Am auzit din unele surse ca cineva ar fi dat un contraexemplu pentru problema asta... Este adevarat? Nu prea as crede.)