Fie \( f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) o functie continua cu proprietatea ca pentru orice \( x\in\mathbb{R} \), limita
\( \lim_{h\to 0} \left| \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right| \)
exista si este finita.
Aratati ca in orice punct din \( \mathbb{R} \) functia f este derivabila sau admite derivate laterale finite de acelasi modul si semn contrar.
ONM Problema 2
Moderators: Bogdan Posa, Laurian Filip, Beniamin Bogosel, Radu Titiu, Marius Dragoi
-
Laurian Filip
- Site Admin
- Posts: 344
- Joined: Sun Nov 25, 2007 2:34 am
- Location: Bucuresti/Arad
- Contact:
-
Laurentiu Tucaa
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:22 pm
- Location: Pitesti
La problema asta mai exista inca o rezolvare diferita de cea din barem, care initial a fost considerata gresita, adica analiza problemei cu punctele de extrem.
De exemplu, daca alegem \( x_0 \in\mathbb{R} \)punct de extrem concluzia este evidenta. Problema este in cazul in care \( x_0 \) nu este punct de extrem, pt. ca in rezolvarea multora dintre participanti (dupa cum am aflat si eu), inclusiv rezolvarea data de mine, am spus ca alegand o vecinatate \( V(\eps)=(x_0-\eps,x_0+\eps) \) in mod arbitrar, \( f(x)-f(x_0) \) pastreaza semn constant pe \( (x_0-\eps,x_0) \) si pe \( (x_0,x_0+\eps) \) sau isi schimba semnul. Ei, daca pe \( (x_0-\eps,x_0),\ f(x)-f(x_0) \) isi schimba cel putin odata semnul exista \( a,b \in (x_0-\eps,x_0) \) a.i. \( f(a)-f(x_0)<0 \) si \( f(b)-f(x_0)>0 \). Acum ar ramane de demostrat faptul ca in cazul acesta derivata la stanga exista si este 0, ceea ce nu am putut demostra, dar pare evident pt. ca altfel concluzia problemei ar fi gresita.Analog in cazul in care \( f(x)-f(x_0) \)isi schimba semnul cel putin odata pe \( (x_0,x_0+\eps) \) In cazul in care nu isi schimba semnul pe cele 2 intervale concluzia este evidenta si asta am scris. Si totusi am luat 0 puncte.
De exemplu, daca alegem \( x_0 \in\mathbb{R} \)punct de extrem concluzia este evidenta. Problema este in cazul in care \( x_0 \) nu este punct de extrem, pt. ca in rezolvarea multora dintre participanti (dupa cum am aflat si eu), inclusiv rezolvarea data de mine, am spus ca alegand o vecinatate \( V(\eps)=(x_0-\eps,x_0+\eps) \) in mod arbitrar, \( f(x)-f(x_0) \) pastreaza semn constant pe \( (x_0-\eps,x_0) \) si pe \( (x_0,x_0+\eps) \) sau isi schimba semnul. Ei, daca pe \( (x_0-\eps,x_0),\ f(x)-f(x_0) \) isi schimba cel putin odata semnul exista \( a,b \in (x_0-\eps,x_0) \) a.i. \( f(a)-f(x_0)<0 \) si \( f(b)-f(x_0)>0 \). Acum ar ramane de demostrat faptul ca in cazul acesta derivata la stanga exista si este 0, ceea ce nu am putut demostra, dar pare evident pt. ca altfel concluzia problemei ar fi gresita.Analog in cazul in care \( f(x)-f(x_0) \)isi schimba semnul cel putin odata pe \( (x_0,x_0+\eps) \) In cazul in care nu isi schimba semnul pe cele 2 intervale concluzia este evidenta si asta am scris. Si totusi am luat 0 puncte.
-
Laurentiu Tucaa
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:22 pm
- Location: Pitesti
Acum si rezolvarea completa (diferita de cea din barem):
Fie \( x_0\in\mathbb{R} \) si \( V(t)=(x_0-t,x_0+t) \)
Avem 2 posibilitati pt \( x_0 \):
1) exista \( \eps>0 \) a.i. \( \forall x\in V(\eps),\ f(x)\ge f(x_0) \) sau \( f(x) \le f(x_0) \).
Analizez primul caz, celalalt fiind analog. Deci conform celor spuse avem \( \left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|=-\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\forall x\in (x_0-\eps,x_0) \) de aici rezulta notand limita din enunt \( l_x \) ca \( l_x=-\lim_{x\to x_0}_{x<x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \) iar de aici rezulta ca \( f^{\prime}_s(x_0)=-l_x \). Analog obtinem ca \( f^{\prime}_d(x_0)=l_x \). In cazul in care \( x_0 \) este punct de maxim se procedeaza la fel. In concluzie daca \( l_x=0 \) din f e derivabila ca derivata nula, in caz contrar exista derivate laterale egale in modul si de semn contrar.
2)Aici avem 2 situatii:
a) \( f(x)-f(x_0) \) pastreaza semn constant pe \( (x_0-\eps,x_0) \) si pe \( (x_0,x_0+\eps ) \) evident pe unul din intervale e plus si pe celalalt minus, altfel \( x_0 \) ar fi punct de extrem caz analizat deja. Printr-un rationament analog ca in primul caz rezulta ca f este derivabila in \( x_0 \) iar \( f^{\prime}(x_0)=l_x \) daca \( f(x)-f(x_0)<0 \forall x\in(x_0-\eps,x_0) \)si \( f(x)-f(x_0)>0 \forall x\in(x_0,x_0+\eps) \) si invers in caz contrar.
b) \( f(x)-f(x_0) \) nu pastreaza semn constant pe unul din cele 2 intervale, presupun pe \( (x_0,x_0+\eps) \), rezulta ca exista 2 siruri de numere reale \( u_n,v_n \) cu \( \lim_{n\to \infty} u_n=\lim_{n\to \infty} v_n=x_0 \) a.i. \( f(u_n)-f(x_0)<0,\ f(v_n)-f(x_0)>0 \). Cum functia \( \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \) are PD, rezulta ca exista un sir \( t_n \) de numere reale cu \( \lim_{n\to \infty} t_n=x_0 \) a.i. \( f(t_n)-f(x_0)=0 \), iar de aici obtinem \( l_x=0 \), adica f e derivabila.
Fie \( x_0\in\mathbb{R} \) si \( V(t)=(x_0-t,x_0+t) \)
Avem 2 posibilitati pt \( x_0 \):
1) exista \( \eps>0 \) a.i. \( \forall x\in V(\eps),\ f(x)\ge f(x_0) \) sau \( f(x) \le f(x_0) \).
Analizez primul caz, celalalt fiind analog. Deci conform celor spuse avem \( \left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|=-\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\forall x\in (x_0-\eps,x_0) \) de aici rezulta notand limita din enunt \( l_x \) ca \( l_x=-\lim_{x\to x_0}_{x<x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \) iar de aici rezulta ca \( f^{\prime}_s(x_0)=-l_x \). Analog obtinem ca \( f^{\prime}_d(x_0)=l_x \). In cazul in care \( x_0 \) este punct de maxim se procedeaza la fel. In concluzie daca \( l_x=0 \) din f e derivabila ca derivata nula, in caz contrar exista derivate laterale egale in modul si de semn contrar.
2)Aici avem 2 situatii:
a) \( f(x)-f(x_0) \) pastreaza semn constant pe \( (x_0-\eps,x_0) \) si pe \( (x_0,x_0+\eps ) \) evident pe unul din intervale e plus si pe celalalt minus, altfel \( x_0 \) ar fi punct de extrem caz analizat deja. Printr-un rationament analog ca in primul caz rezulta ca f este derivabila in \( x_0 \) iar \( f^{\prime}(x_0)=l_x \) daca \( f(x)-f(x_0)<0 \forall x\in(x_0-\eps,x_0) \)si \( f(x)-f(x_0)>0 \forall x\in(x_0,x_0+\eps) \) si invers in caz contrar.
b) \( f(x)-f(x_0) \) nu pastreaza semn constant pe unul din cele 2 intervale, presupun pe \( (x_0,x_0+\eps) \), rezulta ca exista 2 siruri de numere reale \( u_n,v_n \) cu \( \lim_{n\to \infty} u_n=\lim_{n\to \infty} v_n=x_0 \) a.i. \( f(u_n)-f(x_0)<0,\ f(v_n)-f(x_0)>0 \). Cum functia \( \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \) are PD, rezulta ca exista un sir \( t_n \) de numere reale cu \( \lim_{n\to \infty} t_n=x_0 \) a.i. \( f(t_n)-f(x_0)=0 \), iar de aici obtinem \( l_x=0 \), adica f e derivabila.